位向量 补码与无符号 加法与乘法 CSAPP学习笔记

计算机中用位来表示整数，一种方式只能表示非负数，一种可以表示有符号数。

无符号数编码：

补码编码：

由上面的定义可以知道补码与无符号之间的对应关系（见下式），最高位为0时，补码与无符号表示是一样的，而最高位为1时，举个例子，补码表示的-1对应于无符号数的4294967295(这里指的是32位数) 。

在整数运算之前必须先了解 整数的扩展和截断 

扩展分为零扩展和符号扩展，零扩展是简单的在表示的开头添加0，适用于无符号数的扩展。而符号扩展在表示中添加最高有效位值的副本，适用于补码的扩展。比如4位的1101扩展成8位，即11111101，很容易证明无符号位的扩展不改变其值。

截断简单的来讲就是丢弃较高的位，这里我们把截断跟下面提到的‘取模’(mod)当做一回事。举个补码数字的截断，11101111截断到4位数值，得到的结果是1111即-1（这里还需要将位表示转换为无符号数），这里截断到4位于mod(16)等价（如果个人理解有误，还请看官指出）。

   PS：这里的mod与c/c++中的%有区别，c/c++中的除法是往0靠近，举个例子，-7%4=-3。

整数加法  两个数的w位补码之和与无符号之和有完全相同的位级表示！

无符号加法，由于两个数加起来可能会增加表示位的个数，这会使得字长膨胀，在一般的编程语言内，只支持固定精度的运算。当两个无符号数相加溢出时(两个w位加起来可能得到w+1位的值)，规定丢弃最高位，等价于计算和模上2^w。

补码加法，补码加法稍微复杂点，补码加法计算方法就是先将两个数转化为无符号数，相加（使用无符号加法的规则）之后再转化回来。

其实我们平时在计算的时候只要用上面公式即可，不需要每次做计算都把整个过程走一遍，比如说先转化在相加取模在转化，啊，太烦了。

整数乘法 补码和无符号乘法运算的位级表示一样，终于知道为什么使用补码了吧，机器用同一种乘法指令来对乘法进行计算，对于加法也是一样

无符号乘法，固定的位的个数，所以直接对乘法结果取模，当实际计算两个32位长度的整数时，计算结果存放在两个寄存器中，最终的结果即其中一个寄存器的值（低32位）。

补码乘法，先得到两个数的乘积（就是补码表示的数的乘积，比如-1*7=-7），然后截断，再转化为有符号数。计算的式子如下

现在来分析为什么乘法运算的位级表示一样，即为什么无符号和补码乘积的低位是相同的。因为对于相同的两个位模式,其表示的无符号值的乘积与补码乘积取模之后的结果是一样的，用x撇，y撇表示无符号值，x,y表示补码值，则有

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