【machine learning细致讲解code逐行注释】之线性回归

现在机器学习算法在分类、回归、数据挖掘等问题上运用的十分广泛,对于初学者来说,可能一听到‘算法‘或其他的专属名词都感觉高深莫测,以致很多人望而却步,这让很多人在处理很多问题上失去了一个很有用的工具。机器学习的算法并没有那么高深,这里我就用最通俗的语言来细致解释算法的表达的意义,,并且很多人对程序的实现这一部分也会望而却步,网上固然有很多现成的程序,但是鉴于大部分没有注释,所以有时候需要花费很大的精力去解读程序,有时候甚至不得其解,这里我也会对每个讲解的算法的程序进行讲解,大部分是逐行讲解,务必做到最精细,把程序的来龙去脉表达清楚,这样对于学习机器学习算法的读者势必会事半功倍!

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开始了,学习吧,加油!

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上一个博客已经说了我们要线性回归的主要内容,通俗的讲就是:你有一个样本X=[x1,x2,…,xn],然后你需要做的就是找到一组参数W=[w1,w2…wn],使

样本各个元素的线性叠加和w1*x1+w2*x2+…+wn*xn尽量等于样本的label。所以我们的cost function就是:

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也就是说我们的目的就是惩罚那些线性叠加和不等于label的样本。然后我们最小化这个cost function,当cost function达到收敛的时候,这时候的参数就是我们需要的蚕食。我们有两种方法去优化我们的参数,上一个博客说了,我们线性回归的参数是有显式解的。就是上一节提到的normal equations,w=inv(X’*X)*X’*y。(X的每一行是一个样本),除此之外,我们也可以用梯度下降法来求得我们的参数,梯度下降法的解释将在下面的博客中提到,这里我们用一个例子来说明一下:
题目是:50个数据样本点,其中x为这50个小朋友到的年龄,年龄为2岁到8岁,年龄可有小数形式呈现。Y为这50个小朋友对应的身高,当然也是小数形式表示的。现在的问题是要根据这50个训练样本,估计出3.5岁和7岁时小孩子的身高。(数据下载

采用normal equations方法求解:

 1 %%方法一
 2 x = load(‘ex2x.dat‘);
 3 y = load(‘ex2y.dat‘);
 4 plot(x,y,‘*‘)
 5 xlabel(‘height‘)
 6 ylabel(‘age‘)
 7 x = [ones(size(x,2),1),x];%因为size(x)会出来的x这个向量两个维度
 8 %度,我们只需要第一个维度,我们还要再加一列1是因为这里把wx+b变成了w’x这样我们化成齐次的线性方程,所以我们要把x扩成一列1。
 9 w=inv(x‘*x)*x‘*y %这个就是解的公式
10 hold on
12 plot(x(:,2),0.0639*x(:,2)+0.7502)%这里的0.7502就是求得的w向量的第一个值,也就是wx+b的那个b,w第二个值就是wx+b的w
利用梯度下降法进行迭代求解系数
方法二:
 1 clear all; close all; clc
 2 x = load(‘ex2x.dat‘); y = load(‘ex2y.dat‘);
 3 m = length(y); % number of training examples
 4 % Plot the training data
 5 figure; % open a new figure window  这个figure也可以不写,没什么影响
 6 plot(x, y, ‘o‘);%用圆圈表示数据点 
 7 ylabel(‘Height in meters‘)%给y值写上代表什么意思
 8 xlabel(‘Age in years‘)
10 % Gradient descent
11 x = [ones(m, 1) x]; % Add a column of ones to x x最开始增加一列1,也就是每一个数据点增加一维,并且这一维都是1,
12 %相当于要求得线性方程是齐次的w‘x=Y,x是变成的二维的,Y代表根据训练的w‘x预测的Y值
13 theta = zeros(size(x(1,:)))‘; % initialize fitting parameters w‘初始化为[0;0]
14 MAX_ITR = 1500;
15 alpha = 0.07;%学习速率
17 for num_iterations = 1:MAX_ITR
18     grad = (1/m).* x‘ * ((x * theta) - y);%grd具体是怎么算的可以看下下面的推导,只是这里的1/m不知道是怎么得出来的,
19     %我的是2m,注意grad是一个2*1的向量。并且公式里面的形式
20     %跟这里有点不同,是因为在公式中xi代表一个向量,这里x是一个矩阵,并且每一行代表一个样本,所以这里代码中前面是x‘后面是x,
21     %在公式中正好相反    .* 是点乘,不是内积,向量的内积结果是个数,这还是一个向量
22   theta = theta - alpha .* grad;  %这里如果令grad=0求极值得到参数的方法就是前面的那个方法,这里不是grad=0,而是一次次 %的迭代,求最值。
23 end
24 hold on; % keep previous plot visible
25 plot(x(:,2), x*theta, ‘-‘)%这个就是回归曲线的那个图
26 legend(‘Training data‘, ‘Linear regression‘)%标出图像中各曲线标志所代表的意义,就是每个数据点表示成的圆圈或线段所代表 %的意义
27 hold off % don‘t overlay any more plots on this figure,指关掉前面的那幅图
28 % Closed form solution for reference
29 % You will learn about this method in future videos
30 exact_theta = (x‘ * x)\x‘ * y%不知道这是啥意思
31 % Predict values for age 3.5 and 7
32 predict1 = [1, 3.5] *theta
33 predict2 = [1, 7] * theta
34 % Grid over which we will calculate J
35 theta0_vals = linspace(-3, 3, 100);%生成一个从-3到3之间有均匀的100个元素的向量
36 theta1_vals = linspace(-1, 1, 100);
37 % initialize J_vals to a matrix of 0‘s
38 J_vals = zeros(length(theta0_vals), length(theta1_vals));
39 for i = 1:length(theta0_vals)
40       for j = 1:length(theta1_vals)
41       t = [theta0_vals(i); theta1_vals(j)];    
42       J_vals(i,j) = (0.5/m) .* (x * t - y)‘ * (x * t - y);%当参数的取值是从(-3,1)到(3,1)
43       %的矩形内均匀采样取值时(取了100*100个参数),所有样本xi与每个参数对应
44       %的回归方程的误差就是 J_vals(i,j)的一个值
45       end
46 end
47 J_vals = J_vals‘;
48 % Surface plot
49 figure;
50 surf(theta0_vals, theta1_vals, J_vals)%画出参数与损失函数的图像。注意用这个surf比较蛋疼,surf(X,Y,Z)是这样的,
51 %X,Y是向量,Z是矩阵,用X,Y铺成的网格(100*100个点)与Z的每个点
52 %形成一个图形,但是是怎么对应的哪,蛋疼之处就是,你的X的第二个元素与Y的第一个元素形成的那一个点不是和Z(2,1)的值对应!!
53 %而是和Z(1,2)对应!!因为前面形成Z(2,1)时,是X的第二个元素与Y的第一个元素
54 %所以J_vals前面才要转置。
55 xlabel(‘\theta_0‘); ylabel(‘\theta_1‘);
56 % Contour plot
57 figure;
58 % Plot J_vals as 15 contours spaced logarithmically between 0.01 and 100
59 contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals, logspace(-2, 2, 15))%画出等高线
60 xlabel(‘\theta_0‘); ylabel(‘\theta_1‘);%类似于转义字符,但是最多只能是到参数0~9
 
 实验结果:训练样本散点和回归曲线预测图:

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损失函数与参数之间的曲面图:

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参考:http://www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2013/03/15/2961660.html

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