【machine learning细致讲解code逐行注释】之线性回归

现在机器学习算法在分类、回归、数据挖掘等问题上运用的十分广泛，对于初学者来说，可能一听到‘算法‘或其他的专属名词都感觉高深莫测，以致很多人望而却步，这让很多人在处理很多问题上失去了一个很有用的工具。机器学习的算法并没有那么高深，这里我就用最通俗的语言来细致解释算法的表达的意义，，并且很多人对程序的实现这一部分也会望而却步，网上固然有很多现成的程序，但是鉴于大部分没有注释，所以有时候需要花费很大的精力去解读程序，有时候甚至不得其解，这里我也会对每个讲解的算法的程序进行讲解，大部分是逐行讲解，务必做到最精细，把程序的来龙去脉表达清楚，这样对于学习机器学习算法的读者势必会事半功倍！

转载时候最好标注 http://www.cnblogs.com/happylion/ 或 http://blog.sina.com.cn/ahappylion

开始了，学习吧，加油！

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上一个博客已经说了我们要线性回归的主要内容，通俗的讲就是：你有一个样本X=[x1,x2,…,xn],然后你需要做的就是找到一组参数W=[w1,w2…wn],使

样本各个元素的线性叠加和w1*x1+w2*x2+…+wn*xn尽量等于样本的label。所以我们的cost function就是：

也就是说我们的目的就是惩罚那些线性叠加和不等于label的样本。然后我们最小化这个cost function，当cost function达到收敛的时候，这时候的参数就是我们需要的蚕食。我们有两种方法去优化我们的参数，上一个博客说了，我们线性回归的参数是有显式解的。就是上一节提到的normal equations，w=inv(X’*X)*X’*y。（X的每一行是一个样本），除此之外，我们也可以用梯度下降法来求得我们的参数，梯度下降法的解释将在下面的博客中提到，这里我们用一个例子来说明一下：

题目是：50个数据样本点，其中x为这50个小朋友到的年龄，年龄为2岁到8岁，年龄可有小数形式呈现。Y为这50个小朋友对应的身高，当然也是小数形式表示的。现在的问题是要根据这50个训练样本，估计出3.5岁和7岁时小孩子的身高。（数据下载）

采用normal equations方法求解：

 1 %%方法一
 2 x = load(‘ex2x.dat‘);
 3 y = load(‘ex2y.dat‘);
 4 plot(x,y,‘*‘)
 5 xlabel(‘height‘)
 6 ylabel(‘age‘)
 7 x = [ones(size(x，2),1),x]；%因为size（x）会出来的x这个向量两个维度

 8 %度，我们只需要第一个维度，我们还要再加一列1是因为这里把wx+b变成了w’x这样我们化成齐次的线性方程，所以我们要把x扩成一列1。
 9 w=inv(x‘*x)*x‘*y %这个就是解的公式
10 hold on
12 plot(x(:,2),0.0639*x(:,2)+0.7502）%这里的0.7502就是求得的w向量的第一个值，也就是wx+b的那个b，w第二个值就是wx+b的w

利用梯度下降法进行迭代求解系数

方法二：

 1 clear all; close all; clc
 2 x = load(‘ex2x.dat‘); y = load(‘ex2y.dat‘);
 3 m = length(y); % number of training examples
 4 % Plot the training data
 5 figure; % open a new figure window  这个figure也可以不写，没什么影响
 6 plot(x, y, ‘o‘);%用圆圈表示数据点 
 7 ylabel(‘Height in meters‘)%给y值写上代表什么意思
 8 xlabel(‘Age in years‘)
10 % Gradient descent
11 x = [ones(m, 1) x]; % Add a column of ones to x x最开始增加一列1,也就是每一个数据点增加一维，并且这一维都是1，
12 %相当于要求得线性方程是齐次的w‘x=Y，x是变成的二维的，Y代表根据训练的w‘x预测的Y值
13 theta = zeros(size(x(1,:)))‘; % initialize fitting parameters w‘初始化为[0;0]
14 MAX_ITR = 1500;
15 alpha = 0.07;%学习速率
17 for num_iterations = 1:MAX_ITR
18     grad = (1/m).* x‘ * ((x * theta) - y);%grd具体是怎么算的可以看下下面的推导，只是这里的1/m不知道是怎么得出来的，
19     %我的是2m，注意grad是一个2*1的向量。并且公式里面的形式
20     %跟这里有点不同，是因为在公式中xi代表一个向量，这里x是一个矩阵，并且每一行代表一个样本，所以这里代码中前面是x‘后面是x，
21     %在公式中正好相反    .* 是点乘，不是内积，向量的内积结果是个数，这还是一个向量
22   theta = theta - alpha .* grad;  %这里如果令grad=0求极值得到参数的方法就是前面的那个方法，这里不是grad=0，而是一次次 %的迭代，求最值。
23 end
24 hold on; % keep previous plot visible
25 plot(x(:,2), x*theta, ‘-‘)%这个就是回归曲线的那个图
26 legend(‘Training data‘, ‘Linear regression‘)%标出图像中各曲线标志所代表的意义，就是每个数据点表示成的圆圈或线段所代表 %的意义
27 hold off % don‘t overlay any more plots on this figure，指关掉前面的那幅图
28 % Closed form solution for reference
29 % You will learn about this method in future videos
30 exact_theta = (x‘ * x)\x‘ * y%不知道这是啥意思
31 % Predict values for age 3.5 and 7
32 predict1 = [1, 3.5] *theta
33 predict2 = [1, 7] * theta
34 % Grid over which we will calculate J
35 theta0_vals = linspace(-3, 3, 100);%生成一个从-3到3之间有均匀的100个元素的向量
36 theta1_vals = linspace(-1, 1, 100);
37 % initialize J_vals to a matrix of 0‘s
38 J_vals = zeros(length(theta0_vals), length(theta1_vals));
39 for i = 1:length(theta0_vals)
40       for j = 1:length(theta1_vals)
41       t = [theta0_vals(i); theta1_vals(j)];    
42       J_vals(i,j) = (0.5/m) .* (x * t - y)‘ * (x * t - y);%当参数的取值是从（-3,1）到（3,1）
43       %的矩形内均匀采样取值时（取了100*100个参数），所有样本xi与每个参数对应
44       %的回归方程的误差就是 J_vals(i,j)的一个值
45       end
46 end
47 J_vals = J_vals‘;
48 % Surface plot
49 figure;
50 surf(theta0_vals, theta1_vals, J_vals)%画出参数与损失函数的图像。注意用这个surf比较蛋疼，surf（X,Y,Z）是这样的，
51 %X,Y是向量，Z是矩阵，用X，Y铺成的网格（100*100个点）与Z的每个点
52 %形成一个图形，但是是怎么对应的哪，蛋疼之处就是，你的X的第二个元素与Y的第一个元素形成的那一个点不是和Z（2，1）的值对应！！
53 %而是和Z（1,2）对应！！因为前面形成Z（2，1）时，是X的第二个元素与Y的第一个元素
54 %所以J_vals前面才要转置。
55 xlabel(‘\theta_0‘); ylabel(‘\theta_1‘);
56 % Contour plot
57 figure;
58 % Plot J_vals as 15 contours spaced logarithmically between 0.01 and 100
59 contour(theta0_vals, theta1_vals, J_vals, logspace(-2, 2, 15))%画出等高线
60 xlabel(‘\theta_0‘); ylabel(‘\theta_1‘);%类似于转义字符，但是最多只能是到参数0~9

 实验结果：训练样本散点和回归曲线预测图：

损失函数与参数之间的曲面图:

参考：http://www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2013/03/15/2961660.html