O(n)回文子串（Manacher）算法

浏览数：17 / 时间：2015年06月08日

O(n)回文子串（Manacher）算法

资料来源网络参见：http://www.felix021.com/blog/read.php?2040

问题描述：

输入一个字符串，求出其中最大的回文子串。子串的含义是：在原串中连续出现的字符串片段。回文的含义是：正着看和倒着看相同，如abba和yyxyy。

解析：

这里介绍O(n)回文子串（Manacher）算法

算法基本要点：首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#。

下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]），比如S和P的对应关系：

S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

下面计算P[i]，该算法增加两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。

这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。

具体代码如下：

if(mx > i)
{
      p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));
}
else
{
       p[i] = 1;
}

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

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当 P[j] > mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以 S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能一个一个匹配了。

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对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了

下面给出原文，进一步解释算法为线性的原因

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#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#define maxn 110055
using namespace std;
char ma[maxn*2];
int mp[maxn*2];
int l;
int  Manacher(char s[],int len)
{
    int res = 0;
    l = 0;
    ma[l++] = ‘$‘;
    ma[l++] = ‘#‘;
    for(int i=0; i<len; i++)
    {
        ma[l++] = s[i];
        ma[l++] = ‘#‘;
    }
    ma[l] = 0;
    int mx = 0,id = 0;
    for(int i=0; i<l; i++)
    {
        mp[i] = mx >i ?min(mp[2*id-i],mx-i):1;
        while(ma[i+mp[i]] == ma[i-mp[i]]) mp[i] ++;
        if(i + mp[i] > mx)
        {
            mx = i + mp[i];
            id = i;
        }
    }
}
char s[maxn];
int main()
{
//#ifndef ONLINE_JUDGE
//          freopen("in.txt","r",stdin);
//#endif // ONLINE_JUDGE
    while(~scanf("%s",s))
    {
        int  len = strlen(s);
        Manacher(s,len);
        int ans = 0;
        for(int i=0; i<l; i++)
        {
            ans = max(ans,mp[i] );
        }
        printf("%d\n",ans-1);
    }
    return 0;
}