《数据结构与算法分析:C语言描述_原书第二版》CH2算法分析_课后习题_部分解答

对于一个初学者来说，作者的Solutions Manual把太多的细节留给了读者，这里尽自己的努力给出部分习题的详解:

不当之处，欢迎指正。

1、  按增长率排列下列函数：N，√2，N^1.5，N²，NlogN， NloglogN，Nlog²N，Nlog(N²)，2/N，2^N，2^N/2，37，N²logN，N³。指出哪些函数以相同的增长率增长。

　　 答：排列如下2/N < 37 < √2 < N < NloglogN < NlogN < Nlog(N²) < Nlog²N < N^1.5 < N² < N²logN < N³ < 2^N/2 < 2^N。

　　 其中，NlogN 与 Nlog(N²) 的增长率相同，均为O(NlogN)。

　　 补充说明：a) 其中 Nlog²N 与 N^1.5， N³ 与 2^N/2大小关系的判定，可以连续使用洛必达法则（N->∞时，两个函数比值的极限，等于它们分别求导后比值的极限）。当然，更简单的是两边直接求平方。

 　　　　　　　b) 同时注意一个常用法则：对任意常数k，log^kN = O(N)。这表明对数增长得非常缓慢。习题3中我们会证明它的一个更严格的形式。

2、  函数NlogN 与 N^1+ε/√logN (ε>0) 哪个增长得更快？

　　 分析：我们首先考虑的可能是利用洛必达法则，但是对于第二个函数其上下两部分皆含有变量，难以求导（当然也不是不行，就是麻烦些，如果你愿意设y = N^1+ε/√logN ，然后对两边取对数的话）。这里我们将利用反证法：

　　 要证NlogN < N^1+ε/√logN ，即证 logN < N^ε/√logN。既然用反证法，那么我们假设 N^ε/√logN < logN。两边取对数有 ε/√logN logN < loglogN。即 ε√logN < loglogN。设t = logN，则 ε√t < logt <=> ε²t < log²t，这显然与连续1中b)矛盾，因此假设 N^ε/√logN < logN 不成立。因此函数 N^1+ε/√logN增长得更快。

3、  证明对任意常数k，log^kN = o(N)。

　　 解：要证明命题成立，只需证lim_n->∞(log^kN / N) = 0即可。证明如下：

　　 首先，如果k₁ < k₂，显然有 log^k1N = o(log^k2N) 。且k = 0时，log^kn = 1。应用洛必达法则，lim_n->∞(logⁱN / N) = lim_n->∞(ilog^i-1N / Nln2) = lim_n->∞(log^i-1N / N) 。（说明：这里舍弃常数是因为我们假设函数最终的比值为0，否则不可简单的丢弃常数。当然如果比值不为零的话，我们需要返回到这里另行处理，其实证明过程也是不断尝试、调整的，此路不通，另行它法嘛:）就是说，通过不断地规约，最终极限的比值等于零，命题得证。

 4、 求两个函数 f(N) 和 g(N)，使得 f(N) ≠ O(g(N)) 且 g(N) ≠ O(f(N))。

　　 一个显然的例子是函数 f(N) = sinN，g(N) = cosN。

 5、 假设需要生成前N个自然数的一个随机置换。例如，{4，3，1，5，2} 和 {3，1，4，2，5} 就是合法的置换，但 {5，4，1，2，1} 却不是，因为数1出现两次而数3却没有出现。这个程序常常用于模拟一些算法。我们假设存在一个随机数生成器 RandInt(i, j)，它以相同的概率生成 i 和 j 之间的一个整数。下面是三个算法：

　　 1) 如下填入从 A[0] 到 A[N-1] 的数组 A：为了填入 A[i]，生成随机数直到它不同于已经生成的 A[0]，A[1]，... ，A[i-1]，再将其填入 A[i]。

　　 2) 同算法1)，但是要保存一个附加的数组，称之为 Used(用过的)数组。当一个随机数 Ran 最初被放入数组 A 的时候，置 Used[Ran] = 1。这就是说，当用一个随机数填入 A[i] 时，可以用一步来测试是否该随机数已经被使用，而不是像的一个算法那样（可能）进行 i 步测试。

　　 3) 填写该数组使得 A[i] = i + 1。然后：

  　　for(i = 1; i < N; i++)
　　　　 Swap(&A[i], &A[RandInt(0, i)]);

　　 对每一个算法给出你能够得到的尽可能准确的期望的运行时间分析（用大O）。

　　 解：分析，对于1)，容易写出如下算法：

　for(i = 0; i < N; i++){
　     while(1){
	　　A[i] = RandInt(1, N);
	　　for(j = 0; j < i; j++)
		if(A[j] == A[i])
		　　break;
	　　if(j == i)
		break;
        }
　}

　　 调用一次随机数字生成函数与前面已经生成的随机数（存放在A数组中的）不同的概率为 (N-i) / N，那么理论上经过 N / (N-i) 次随机数的生成我们可以确定其与已生成的概率为 1。因此该算法的期望运行时间为

，。

当然，也可以对分子放大的同时对分母缩小，不过这样求得的时间界限为O(N²)，显然不如上面的做法精确。这里需要注意的一点是调和级数的前N项和，它是发散的，在计算机科学中的使用频率要远比在在数学等其它科目中使用得多。下面给出调和和：

其近似误差r = 0.5772156649，这个值称为欧拉常数（Euler’s constant）。

　　 对于2)，容易写出如下算法：　

for(i = 0; i < N; i++){
	while(1){
		A[i] = RandInt(1, N);
		if(Used[i] == 0){
			Used[i] = 1;
			break;
		}
	}
}

　　 同1)的分析，其运行时间界限显然为O(NlogN)。

　　 对于3)，运行时间为O(N)，不消多说。

6、  记录一个称为Horner法则的算法，该算法用于计算 F(X) = Σ_i=0~nA_iXⁱ的值。

Poly = 0;
for(i = N; i >= 0; i--)
	Poly = X * Ploy + A[i];

 7、  给出一个有效的算法来确定在整数 A₁  < A₂ < A₃ < ... < A_N 的数组中是否存在整数 i ，使得 Ai = i。你的算法的运行时间是多少？

　　  分析：类似二分查找，直接上代码：

int(int[] a, int N){
	int low = 0, high = N - 1; middle;
	
	while(low <= high){
		middle = ((high-low) >> 1) + low;
		
		if(a[middle]) < middle + 1)
			low = middle + 1;  // 搜索右空间
		else if(a[middle] > middle + 1)
			high = middle - 1; // 搜索做空间
		else 
			return middle;		
	}
	
	return -1;	
}

　　  易知该算法的运行时间为O(logN)。

 8、  如果7题中的语句 low = middle + 1 更该为 low = middle ，那么这个程序还能正确运行吗？

　　  答：不能，设 low = n，high = n + 1，则 middle = n，程序陷入死循环。

 9、  a.编写一个程序来确定正整数N是否是素数，你的程序在最坏的情形下的运行时间是多少（用N表示）？（你应该能够写出O(√N)的算法程序）。

　　  b.令B等于N的二进制表示法中的位数。B的值是多少？

　　  c.你的程序在最坏情形下的运行时间是什么（用B表示）？

　　  d.比较确定一个20（二进制）位的数是否是素数和确定一个40（二进制）位的数是否是素数的运行时间。

　　  e.用 N 还是 B 来给出运行时间更合理，为什么？

　　  解：对于a，由于 √N * √N = N，因此分解 N 时必有一个整数小于 √N。高效的算法思路是：首先，测试N是否能被2整除，不能的话测试N是否能被3，5，7，...，√N整除。编码如下（是素数返回1，不是返回0）： 

int IsPrime(int N){
	int i;
	
	if(N == 1)
		return 0;
	if(N % 2 == 0)
		return 0;
		
	for(i = 3; i <= int(sqrt(w) + 0.5); i += 2)
		if(N % i == 0)
			return 0;
			
	return 1;	
}

　　  对于b，显然有，B = O(logN)。

　　  对于c，由于B = O(logN)，则2^B = O(N)，即2^B/2 = O(√N)，所以用B表示的最坏情况下的运行时间是：O(2^B/2)

　　  对于d，后者的运行时间是前者运行时间的平方，由c中的解答易知。

　　  对于e，Wiss说：B is the better measure because it more accurately represents the size of the input.

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Author：海峰:)
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 参考资料：Data Structures and Algorithm Analysis in C(second edition) Solutions Manual_Mark Allen Weiss_Florida International University.