最小生成树的两种算法:Prim和Kruskal算法

越来越明白了一个道理:你写不出代码的原因只有一个,那就是你没有彻底理解这个算法的思想!!

以前写过最小生成树,但是,水了几道题后,过了一段时间,就会忘却,一点也写不出来了。也许原因只有一个,那就是我没有彻底理解这两种算法。

主题:

其实,求最小生成树有两个要点,一个是权值最小,还有一个就是这个图必须是树。而Prim和Kruskal的不同之处在于两者选择的变量不同,Prim选择的是始终保持权值最小,然后逐个加点构建一棵树。而Kruskal则是始终保证是一棵树(虽然构建过程中不一定是真正的树,但并查集判环可以这样理解:是为了保证结果是一颗树),然后逐条加边,使权值最小。

知道上述两种思想后,来谈谈代码的(都是基于贪心)实现:

Prim:(这里把权值理解成距离)假设,已经确定的点的集合为S,那么还未确定的点可以记为1-S,我们每次从还未确定的点集合1-S中,选择一个里离集合S中的点直接相连,且权值最小(贪心)的点加入S中,不妨被这个点为t,则S与1-S将发生变化:由于t变成了S中的点,那么1-S中与t相连的点的距离实际上变成了该点与S的距离。由于初始化时,已经有一个点已经标志,那么只需要循环N-1次就够了,而且只能是N-1次,否则可能会发生错误(视INF而定),这就是Prim算法。


Kruskal:这个算法相对于Prim来说就比较好理解多了,每次选择权值最小的(贪心)的边,然后看看该边的两个点是否与树矛盾(用并查集判断就行了),在加边的过程中记录有效点的数目,达到N个就结束,不用把每条边都考虑进去。


附上 :HDU 1233    还是畅通工程两种算法的代码,帮助理解:


Prime:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define INF 0x7fffffff

using namespace std;

int Map[110][110],dis[110],vis[110];
int N,M;

void prime(){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1;i<=N;i++) dis[i]=Map[1][i];//权值可以理解成距离,似乎更好理解
    int sum=0;vis[1]=1;//初始1为开始的点,可以任意点
    for(int p=1;p<=N-1;p++){//进行N-1次循环,加入剩下的N-1个点
        int t,Min=INF;
        for(int i=1;i<=N;i++) if(!vis[i] && dis[i]<Min)//寻早集合1-S中到集合S最近的点t
            Min=dis[i],t=i;
        sum+=Min;vis[t]=1;
        for(int i=1;i<=N;i++) if(!vis[i] && dis[i]>Map[t][i])//更新与t相连且在1-S中的点到集合S的距离
            dis[i]=Map[t][i];
    }
    cout<<sum<<endl;
}


int main(){
    //freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    while(cin>>N && N){
        for(int i=0;i<=N;i++) for(int j=0;j<=N;j++) Map[i][j]=INF;
        M=(N-1)*N/2;
        int a,b,c;
        for(int i=0;i<M;i++){
            scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
            Map[a][b]=Map[b][a]=c;
        }
        prime();
    }
    return 0;
}


Kruskal:


#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;
struct edge{
    int u,v,w;
    bool operator<(const edge &a)const{
        return w<a.w;
    }
}E[10010];

int N,M;
int pre[110];

int find(int x){
    int t=x;
    while(pre[t]!=t) t=pre[t];
    while(x!=t) pre[x]=t,x=pre[x];
    return t;
}

void Kruskal(){
    for(int i=0;i<=N;i++) pre[i]=i;//初始话并查集
    int cnt=1,ans=0;
    for(int i=0;i<M;i++){
        int u=E[i].u,v=E[i].v,w=E[i].w;
        int fu=find(u),fv=find(v);
        if(fu==fv) continue;//并查集判断是否满足树的性质
        ans+=w;
        pre[fv]=fu;cnt++;
        if(cnt==N) break;//已经满树
    }
    cout<<ans<<endl;
}


int main(){
    //freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    while(cin>>N && N){
        M=N*(N-1)/2;
        for(int i=0;i<M;i++){
            scanf("%d %d %d",&E[i].u,&E[i].v,&E[i].w);
        }
        sort(E,E+M);//把边排序
        Kruskal();
    }
    return 0;
}


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