最小生成树的两种算法:Prim和Kruskal算法
越来越明白了一个道理:你写不出代码的原因只有一个,那就是你没有彻底理解这个算法的思想!!
以前写过最小生成树,但是,水了几道题后,过了一段时间,就会忘却,一点也写不出来了。也许原因只有一个,那就是我没有彻底理解这两种算法。
主题:
其实,求最小生成树有两个要点,一个是权值最小,还有一个就是这个图必须是树。而Prim和Kruskal的不同之处在于两者选择的变量不同,Prim选择的是始终保持权值最小,然后逐个加点构建一棵树。而Kruskal则是始终保证是一棵树(虽然构建过程中不一定是真正的树,但并查集判环可以这样理解:是为了保证结果是一颗树),然后逐条加边,使权值最小。
知道上述两种思想后,来谈谈代码的(都是基于贪心)实现:
Prim:(这里把权值理解成距离)假设,已经确定的点的集合为S,那么还未确定的点可以记为1-S,我们每次从还未确定的点集合1-S中,选择一个里离集合S中的点直接相连,且权值最小(贪心)的点加入S中,不妨被这个点为t,则S与1-S将发生变化:由于t变成了S中的点,那么1-S中与t相连的点的距离实际上变成了该点与S的距离。由于初始化时,已经有一个点已经标志,那么只需要循环N-1次就够了,而且只能是N-1次,否则可能会发生错误(视INF而定),这就是Prim算法。
Kruskal:这个算法相对于Prim来说就比较好理解多了,每次选择权值最小的(贪心)的边,然后看看该边的两个点是否与树矛盾(用并查集判断就行了),在加边的过程中记录有效点的数目,达到N个就结束,不用把每条边都考虑进去。
附上 :HDU 1233 还是畅通工程两种算法的代码,帮助理解:
Prime:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #define INF 0x7fffffff using namespace std; int Map[110][110],dis[110],vis[110]; int N,M; void prime(){ memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=1;i<=N;i++) dis[i]=Map[1][i];//权值可以理解成距离,似乎更好理解 int sum=0;vis[1]=1;//初始1为开始的点,可以任意点 for(int p=1;p<=N-1;p++){//进行N-1次循环,加入剩下的N-1个点 int t,Min=INF; for(int i=1;i<=N;i++) if(!vis[i] && dis[i]<Min)//寻早集合1-S中到集合S最近的点t Min=dis[i],t=i; sum+=Min;vis[t]=1; for(int i=1;i<=N;i++) if(!vis[i] && dis[i]>Map[t][i])//更新与t相连且在1-S中的点到集合S的距离 dis[i]=Map[t][i]; } cout<<sum<<endl; } int main(){ //freopen("D:\\in.txt","r",stdin); while(cin>>N && N){ for(int i=0;i<=N;i++) for(int j=0;j<=N;j++) Map[i][j]=INF; M=(N-1)*N/2; int a,b,c; for(int i=0;i<M;i++){ scanf("%d %d %d",&a,&b,&c); Map[a][b]=Map[b][a]=c; } prime(); } return 0; }
Kruskal:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; struct edge{ int u,v,w; bool operator<(const edge &a)const{ return w<a.w; } }E[10010]; int N,M; int pre[110]; int find(int x){ int t=x; while(pre[t]!=t) t=pre[t]; while(x!=t) pre[x]=t,x=pre[x]; return t; } void Kruskal(){ for(int i=0;i<=N;i++) pre[i]=i;//初始话并查集 int cnt=1,ans=0; for(int i=0;i<M;i++){ int u=E[i].u,v=E[i].v,w=E[i].w; int fu=find(u),fv=find(v); if(fu==fv) continue;//并查集判断是否满足树的性质 ans+=w; pre[fv]=fu;cnt++; if(cnt==N) break;//已经满树 } cout<<ans<<endl; } int main(){ //freopen("D:\\in.txt","r",stdin); while(cin>>N && N){ M=N*(N-1)/2; for(int i=0;i<M;i++){ scanf("%d %d %d",&E[i].u,&E[i].v,&E[i].w); } sort(E,E+M);//把边排序 Kruskal(); } return 0; }
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