[算法]正整数分解为几个连续自然数之和

题目：输入一个正整数，若该数能用几个连续正整数之和表示，则输出所有可能的正整数序列。

一个正整数有可能可以被表示为n(n>=2)个连续正整数之和，如：
15=1+2+3+4+5
15=4+5+6
15=7+8

有些数可以写成连续N（>1）个自然数之和，比如14=2+3+4+5；有些不能，比如8.那么如何判断一个数是否可以写成连续N个自然数之和呢？

一个数M若可以写成以a开头的连续n个自然数之和，则M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=n*a+n*(n-1)/2，要求a!=0，否则就是以a+1开头的连续n-1个整数了，也就是要求(M-n*(n-1)/2)%n==0，这样就很容易判断一个数可不可以写成连续n个自然数的形式了，遍历n=2…sqrt(M)*2，还可以输出所有解。

void divide(int num)  
{  
    int i,j,a;  
    for(i=2; i<=sqrt((float)num)*2; ++i)  
    {  
        if((num-i*(i-1)/2)%i==0)  
        {  
            a=(num-i*(i-1)/2)/i;  
            if(a>0)  
            {  
                for(j=0; j<i; ++j)  
                    cout<<a+j<<" ";  
            }  
            cout<<endl;  
        }  
    }   
}  

第二个问题是什么样的数可以写成连续n个自然数之和，什么样的数不能？

通过编程实验发现，除了2^n以外，其余所有数都可以写成该形式。下面说明为什么。
若数M符合条件，则有M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=(2*a+n-1)*n/2，而2*a+n-1与n肯定一个为奇数一个为偶数，即M一定要有一个奇数因子，而所有2^n都没有奇数因子，因此肯定不符合条件。
再证明只有M有一个奇数因子，即M!=2^n，M就可以写成连续n个自然数之和。假设M有一个奇数因子a，则M=a*b。

1. 若b也是奇数，只要b-(a-1)/2>0，M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数；将这条结论里的a和b调换，仍然成立。15=3*5=1+2+3+4+5=4+5+6.
2. 若b是偶数，则我们有一个奇数a和一个偶数b。

• 2.1 若b-(a-1)/2>0，M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数。24=3*8=7+8+9.
• 2.2 若(a+1)/2-b>0，M就可以写成以(a+1)/2-b开头的连续2*b个自然数。38=19*2=8+9+10+11.

上述两个不等式必然至少有一个成立，所以可以证明，只要M有一个奇数因子，就一定可以写成连续n个自然数之和。

另一个正整数分解的算法：
sum(i,j)为i累加到j的和 
令 i=1 j=2 
if sum(i,j)>N i++ 
else if sum(i,j)<N j++ 
else cout i...j

参考代码：

#include <iostream>   
using namespace std;  
  
int add(int m,int n)  
{  
    int sum=0;  
    for(int i=m;i<=n;i++)  
        sum+=i;  
    return sum;  
}  
  
void divide(int num)  
{  
    int i=1,j=2,flag;  
    int sum=0;  
    while(i<=num/2)  
    {  
     sum=add(i,j);  
     while(sum!=num)  
     {  
        if(sum>num)  
            i++;  
        else  
            j++;  
        sum=add(i,j);  
     }  
     for(int k=i;k<=j;k++)  
        cout<<k<<" ";  
     ++i;  
     cout<<endl;  
    }  
}  
  
int main()  
{  
    int num;  
    cout<<"Please input your number:"<<endl;  
    cin>>num;  
    divide(num);  
    return 0;  
}