大整数算法[01] 大整数的表示和相关定义

      ★ 相关的数据类型定义

        在干正事之前，先定义好各种数据类型还是很有必要的，避免在以后的编码中引起混乱。

        uintX   X位无符号整形，如uint32表示32位无符号整形

        intX    X位有符号整形，如int32表示32位有符号整形

         基本数据类型定义：

            #ifdef _MSC_VER
            typedef __int8              int8;
            typedef __int16             int16;
            typedef __int32             int32;
            typedef __int64             int64;

            typedef unsigned __int8     uint8;
            typedef unsigned __int16    uint16;
            typedef unsigned __int32    uint32;
            typedef unsigned __int64    uint64;
            #else
            typedef signed char         int8;
            typedef signed short        int16;
            typedef signed int          int32;
            typedef signed long long    int64;

            typedef unsigned char       uint8;
            typedef unsigned short      uint16;
            typedef unsigned int        uint32;
            typedef unsigned long long  uint64;
            #endif

            这里的类型定义未必全部都会用上，因为都是从我其他项目直接拿来用的。

         布尔类型：

             typedef uint8 boolean;
             #define TRUE                  1
             #define FALSE                 0

      ★ 大整数类型的定义

          C语言的最长类型是64位，对于超过64位的无符号整形应该如何保存？很简单，用多个单精度类型存储即可。

        比如1234可以表示成1×1000+2×100+3×10+4×1，于是很容易想到采用十进制，数组的每一位用0到9表示，然后对数字数组按照笔算的原理编写加减乘除函数，但是这么做效率会很低的，因为1024比特的大数在十进制下也有三百多位，对于任何一种运算，都需要在两个有数百个元素的数组空间上多次重循环，还需要许多额外的空间存放计算的进退位标志及中间结果，速度可想而知了，同时，对于一些移位运算，使用十进制会变得非常麻烦，而且速度也会大打折扣。对于程序猿来讲，二进制思维是很重要的，在这里就体现出来了。对于大整数计算，可以采用2^n进制来简化计算过程（2^n进制实际上就是二进制的缩减表示而已），对于32位的系统，n可以取32，这样用于表示大整数的数位会大大减少。例如十进制的4294967296可以表示成1，0 （2^32进制），4294967297可以表示成1， 1 （2^32进制），而且处理移位计算会十分方便。

           首先定义单精度类型和双精度类型：

           typedef uint32 bn_digit;         //定义大整数数位类型，通常情况下长度为操作系统的字长，相当于一个单精度类型。
           typedef uint64 bn_udbl;         //定义双字长无符号整形，32位系统下就是64位，相当于一个双精度类型。

           之所以这么定义，是为了方便移植，对于64位操作系统bn_digit就是64位的无符号整形（这种情况下使用的是2^64进制），此时bn_udbl无定义。

              bignum结构定义：

           typedef struct
           {
                  int sign;             //符号标识，1表示非负整数，-1表示负整数。
                  size_t alloc;       //表示数组dp在增加大小之前的可用数位，alloc数必须是非负整数。
                  size_t used;       //表示数组dp用了多少位来表示一个指定的整数，used数必须是非负整数。
                  bn_digit *dp;    //指针dp指向动态分配的代表指定多精度整数的数组，不足位（alloc-used）全部置0，数组中的数据按照LSB顺序存储（低地址保存低位）
            } bignum; 

               有效的bignum结构：

              考虑到效率还有代码的健壮性，给bignum结构的状态指定了几个规则（某些情况下例外）：

              1. alloc的值为非负整数，也就是说，dp要么指向一个预先分配有空间的数组，要么为NULL。

              2. used的值为非负整数，且used<=alloc。

              3.used的值暗示了数组dp中的第used-1位数不能为0，也就是说以0为首的高位必须被截断，数组dp中第used个及以上的位置必须置为0。

              4. 如果used是0，则sign = 1，此时bignum的值为0或者dp仅仅初始化但没分配内存。

      ★ 参数传递

      在任何库的开发过程中，都应该尽早确定函数参数传递的约定，避免在以后的开发中随着库的增大以及复杂度的增加而遇到难题。在我的大整数库中，采用赋值的方式表示。例如计算两个大整数a，b的和，结果放在c中，函数原型就是： int bn_add_bn(bignum *c, const bignum *a, const bignum *b);    即c = a + b，函数返回一个整形，用于表示计算时是否遇到错误，如内存分配失败等，返回0表示函数调用正常。

      ★ 错误处理

      在大整数算法中，最有可能碰到的问题，就是动态内存分配出错，当然还有一些其他问题，以后在慢慢讨论。对于内存错误，只要一出现，后面的计算就无法进行了，应该立即退出并返回错误值。在我的大数库中，有以下的错误被定义：

    //Error Value
   #define BN_MEMORY_ALLOCATE_FAIL                 -0x0001         //动态内存分配错误
   #define BN_EXCEED_MAX_LIMB                             -0x0002         //超出最大数位
   #define BN_EXCEED_MAX_BITS                              -0x0003         //超出最大的比特位
   #define BN_NEGATIVE_VALUE_ERROR                  -0x0004         //负数错误
   #define BN_INVALID_INPUT                                    -0x0005         //无效输入
   #define BN_DIVISION_BY_ZERO                              -0x0006         //除以0错误
   #define BN_BUFFER_TOO_SMALL                           -0x0007         //缓冲区太小
   #define BN_READ_FILE_ERROR                                -0x0008         //读文件错误
   #define BN_WRITE_FILE_ERROR                               -0x0009         //写文件错误
   #define BN_NO_MODULAR_INVERSE                     -0x000A         //模逆不存在

   错误检查宏：

  #define BN_CHECK(x)                   if((ret = x) != 0){ goto clean; }

        这个宏的作用是用来检查函数中每一步操作的执行情况，一旦检测到错误（非0的函数返回值），即把函数的返回值置ret为错误值x，然后跳转到函数末尾执行清理操作（通常是临时变量的动态内存释放）。这个宏定义里面使用了goto语句，通常情况下应该是避免使用goto语句，这在大多数情况下是有必要的，然而当所有函数都可能出现调用失败的时候，使用几行代码来处理错误就显得很有意义了。

      对于一个大整数计算的函数，通常的形式是这样的：

       int bn_function(bignum *b, const bignum *a)

       {

                  int ret;              //如果使用了BN_CHECK宏，ret必须被定义

                  bignum c;

                  bn_init(&c);        //临时变量初始化

                  /**

                    * Do something here

                    */

                   BN_CHECK(bn_function2(b, a, c));      //BN_CHECK检查bn_function2的调用情况，如果出错，直接跳转到clean后执行清理操作。

        clean:

                  bn_free(&c);       //临时变量内存释放

                   return ret;          //返回错误值，如果无错误，ret = 0.

       }

      ★ 总结

     本片文章简单介绍了大整数的相关定义，下一篇就要开始讲讲最基本的维护算法，主要有大整数的初始化，精度增加，内存释放等等。