任意两点最短路 Floyd-Warshall算法 传递闭包

Floyd-Warshall算法是求解任意两点最短路的有力武器。其也适用于存在负边的情况。

DP思路,假设只使用前K个点时i到j的最短距离为d[k][i][j]
那么,使用前K+1个点就可以分成两种情况
①i到j的最短路用到了第K+1个点(d[k+1][i][j] = d[k][i][j])
②i到j的最短路没有用到第K+1个点(d[k+1][i][j] = d[k][i][k]+d[k][k][j]);
所以,d[k+1][i][j] = min(d[k][i][j],d[k][i][k]+d[k][k][j])

使用滚动数组,就可以写成二维数组的形式
d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])

Floyd算法可以在O(V^3)的时间内解出,判断图中是否有负圈,只需要检查是否存在d[i][i]是负数的顶点i就可以了。

代码

//d[i][j]表示i->j的权值,不存在时设为INF 但是d[i][i]设为0
for(int k = 0 ; k < V ; k ++) {
    for(int i = 0 ; i < V ; i ++) {
        for(int j = 0 ; j < V ; j ++) {
            d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
        }
    }
}

由于实现起来非常简单,如果复杂度在可以承受的范围之内,单源最短路也可以使用Floyd-Warshall算法来进行求解。

在有向图中,如果需要判断每两个点是否存在路径,那么也可以用Floyd算法来进行传递闭包
只需要改成d[i][j] = d[i][j] || (d[i][k]&&d[k][j])即可(预处理也要变化)

郑重声明:本站内容如果来自互联网及其他传播媒体,其版权均属原媒体及文章作者所有。转载目的在于传递更多信息及用于网络分享,并不代表本站赞同其观点和对其真实性负责,也不构成任何其他建议。