算法导论学习-prim算法

浏览数：31 / 时间：2015年06月08日

一. 关于最小生成树

对于无向连通图G=（V，E），其中V表示图的顶点，E表示图的边，对于每条边都有一个权值，可以理解为边a->b的权值C为从a走到b要走的路程为C。现在我们希望找到一个无回路的子集T，且有T是E的子集，T连接了所有的顶点，且其权值和最小。那么这样一个子图G‘=（V，T）称之为图G的最小生成树。

二. 最小生成树的基本性质

最小生成树的边数|T|必然服从|T|=|V|-1.

最小生成树不可以有循环

最小生成树不必是唯一的。

三. Prim算法

对于最小生成树有两种算法：prim算法和kruskal算法，这里只说prim算法。prim算法的核心是两个动态集合U和V-U。这里为了说明的更为生动一些，我用军事入侵的方式来说明prim算法的操作过程。假设有一个我方军事基地，假设该军事基地编号为1（根据不同情况可以改变），其他n-1个军事基地是敌方军事武装所在地。又假设我方军事力量空前强大，逮谁灭谁（意淫一下），但就算这样，我们也不想耗费不必要的力量（这里可以理解为不想走多余的路），我方军队想要设计一套行军路线，是的总的行军路线里程最小并且消灭完所有的地方军事武装。下面以图为例说明prim算法的执行步骤：

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如上图所示有6个军事基地，除了第一个被我方占据外，其余都是敌方势力。根据prim算法，我们首先找到距离1号军事基地最近的军事基地3进行军事打击（1-3距离为1，,1-2距离为6,1-4距离为5）。在占领3号基地以后，我们继续找距离红色标注基地最近的基地，可以发现6号基地距离{1,3}为4，为最近基地。所以我方将6号基地作为下一打击对象。占领6号以后，发现4号基地距离{1,3,6}为2，为最近基地，所以4号基地为下一占领基地。相似的，e，f图依次类推。

下面附上完整代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 const int max_size=50;
 6 const int inf=1<<30;
 7 int map[max_size][max_size];
 8 struct edge{
 9     int c,flag;
10 }edge[max_size*max_size/2];
11 int n,m;
12 int prim(){
13     int s=1,sum=0;
14     for(int i=1;i<=n;i++){
15         if(i==s) continue;
16         edge[i].c=map[s][i];
17         edge[i].flag=0;
18     }
19     edge[s].flag=1;
20     edge[s].c=0;
21     
22     for(int k=1;k<=n-1;k++){//loop n-1 times
23         int mmin=inf,flag=0,nearest;
24         for(int i=1;i<=n;i++){
25             if(!edge[i].flag&&edge[i].c<mmin){
26                 mmin=edge[i].c;
27                 flag=1;    
28                 nearest=i;
29             }
30         }
31         if(!flag) return -1;
32         edge[nearest].flag=1;
33         sum+=mmin;    
34         for(int i=1;i<=n;i++){
35             if(!edge[i].flag&&edge[i].c>map[nearest][i]){
36                 edge[i].c=map[nearest][i];
37             }
38         }        
39     }
40     return sum;
41 }
42 int main(){
43     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
44         int a,b,c;
45         memset(map,inf,sizeof(map));
46         for(int i=1;i<=m;i++){
47             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
48             map[a][b]=map[b][a]=c;
49         }
50         if(prim()) printf("%d\n",prim());
51         else printf("fail\n");
52     }
53 }