【C++】动态规划—矩阵链乘

浏览数：16 / 时间：2015年06月08日

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【C++】动态规划—矩阵链乘

1、问题描述

给定n个矩阵构成的一个链给定｛A1,A2,…,An｝,其中i=1，2，...,n.矩阵Ai的维数为pi-1*pi，如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

2、最优子结构

对乘积A1A2...An的任意加括号方法都会将序列在某个地方分成两部分，也就是最后一次乘法计算的地方，我们将这个位置记为k，也就是说首先计算A1...Ak和Ak+1...An，然后再将这两部分的结果相乘。

最优子结构如下：假设A1A2...An的一个最优加括号把乘积在Ak和Ak+1间分开，则前缀子链A1...Ak的加括号方式必定为A1...Ak的一个最优加括号，后缀子链同理。

一开始并不知道k的确切位置，需要遍历所有位置以保证找到合适的k来分割乘积。

3、状态转移方程

4、代码实现

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 //p为矩阵链，p[0],p[1]代表第一个矩阵，p[1],p[2]代表第二个矩阵，length为p的长度
 4 //所以如果有六个矩阵，length=7，m为存储最优结果的二维矩阵，t为存储选择最优结果路线的
 5 //二维矩阵
 6 void MatrixChainOrder(int *p,int (*m)[10],int (*t)[10],int length)
 7 {
 8     int n=length-1;
 9     int i,j,k,q,num=0;
10     //A[i][i]只有一个矩阵，所以相乘次数为0，即m[i][i]=0;
11     for(i=1;i<length;i++)
12     {
13         m[i][i]=0;
14     }
15     //i代表矩阵链的长度，i=2表示有两个矩阵相乘时如何划分
16     for(i=2;i<=n;i++)
17     {
18         //j表示从第j个矩阵开始的i个矩阵如何划分是最优
19         for(j=1;j<=n-i+1;j++)
20         {
21             //k为从第j个数i个矩阵就是k，从j到k表示他们之间的i个矩阵如何划分
22             k=j+i-1;
23             //m[j][k]存储了从j到k使用最佳划分所得到的最优结果
24             m[j][k]=0x7fffffff;
25             //q为介于j到k-1之间的数，目的是利用q对j到k之间的矩阵进行试探性的划分，
26             //从而找到最优划分，这是一种遍历性的试探。
27             for(q=j;q<=k-1;q++)
28             {
29                 num=m[j][q]+m[q+1][k]+p[j-1]*p[q]*p[k];
30                 if(num<m[j][k])
31                 {
32                     m[j][k]=num;
33                     t[j][k]=q;
34                 }
35             }
36         }
37     }
38 }
39 void PrintAnswer(int(*t)[10],int i,int j)
40 {
41     if(i==j)
42     {
43         cout<<"A"<<i;
44     }
45     else
46     {
47         cout<<"(";
48         PrintAnswer(t,i,t[i][j]);
49         PrintAnswer(t,t[i][j]+1,j);
50         cout<<")";
51     }
52 
53 }
54 int main()
55 {
56     int p[7]={30,35,15,5,10,20,25};
57     int m[10][10],t[10][10];
58     MatrixChainOrder(p,m,t,7);
59     MatrixChainOrder(p,m,t,7);
60     PrintAnswer(t,1,6);
61     cout<<endl;
62     return 0;
63 }