求连续子数组的最大和

浏览数：21 / 时间：2015年06月08日

题目描述：
输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。
数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。
求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，
因此输出为该子数组的和18。

一. 动态规划

设sum[i]为以第i个元素结尾且和最大的连续子数组。假设对于元素i，所有以它前面的元素结尾的子数组的长度都已经求得，那么以第i个元素结尾且和最大的连续子数组实际上，要么是以第i-1个元素结尾且和最大的连续子数组加上这个元素，要么是只包含第i个元素，即sum[i] = max(sum[i-1] + a[i], a[i])。可以通过判断sum[i-1] + a[i]是否大于a[i]来做选择，而这实际上等价于判断sum[i-1]是否大于0。由于每次运算只需要前一次的结果，因此并不需要像普通的动态规划那样保留之前所有的计算结果，只需要保留上一次的即可，因此算法的时间和空间复杂度都很小。

 1 result = a[1]
 2 sum = a[1]
 3 
 4 for i: 2 to LENGTH[a]
 5   if sum > 0
 6     sum += a[i]
 7   else
 8     sum = a[i]
 9 
10   if sum > result
11     result = sum
12 
13 return result

二. 扫描法

（后加注：这里提到的扫描法存在一个问题就是如果最大字段和小于0则算法没法给出正确答案。其实这个问题用动态规划就好，这里的扫描法其实真的不是个好方法，只是因为很有名所以还是粘出来了）

当我们加上一个正数时，和会增加；当我们加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。实现：

 1 //copyright@ July 2010/10/18  
 2 //updated，2011.05.25.  
 3 #include <iostream.h>  
 4   
 5 int maxSum(int* a, int n)  
 6 {  
 7     int sum=0;  
 8     //其实要处理全是负数的情况，很简单，如稍后下面第3点所见，直接把这句改成："int sum=a[0]"即可  
 9     //也可以不改，当全是负数的情况，直接返回0，也不见得不行。  
10     int b=0;  
11       
12     for(int i=0; i<n; i++)  
13     {  
14         if(b<0)           //...  
15             b=a[i];  
16         else  
17             b+=a[i];  
18         if(sum<b)  
19             sum=b;  
20     }  
21     return sum;  
22 }  
23   
24 int main()  
25 {  
26     int a[10]={1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};  
27     //int a[]={-1,-2,-3,-4};  //测试全是负数的用例  
28     cout<<maxSum(a,8)<<endl;  
29     return 0;  
30 }  
31   
32 /*------------------------------------- 
33 解释下： 
34 例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5， 
35 那么最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2， 
36 因此输出为该子数组的和18。 
37  
38 所有的东西都在以下俩行， 
39 即： 
40 b  ：  0  1  -1  3  13   9  16  18  13   
41 sum：  0  1   1  3  13  13  16  18  18 
42    
43 其实算法很简单，当前面的几个数，加起来后，b<0后， 
44 把b重新赋值，置为下一个元素，b=a[i]。 
45 当b>sum，则更新sum=b; 
46 若b<sum，则sum保持原值，不更新。。July、10/31。