[工具]toolbox_graph_dijkstra算法

dijkstra：计算图的最短路径。

相关代码：

 test_dijkstra.m：实现了dijkstra算法，生成一个20*20的网格，分别对网格的边赋予权值。然后从序号为200的顶点出发到达序号为90的顶点。最终得到的结果为找到序号90的顶点的路径。调用了gen_square_graph,preform_dijkstra,perform_dijkstra_path_extraction,plot_dijkstra方法，分别实现生成m*m的图,dijkstra算法，提取路径和显示。

gen_square_graph.m:生成边为n的图。源自http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/5355-toolbox-graph/content/toolbox_graph/load_graph.m

　　function [A,xy] = gen_square_graph( n, connectivity )

　　参数说明：n——生成的图的边的长度；

　　　　connectivity——默认为4，也就是{[-1,0], [1,0], [0,1], [0,-1]}中的点构成的正方形；

　　　　　　　　　　　　设定为8时，倾斜方向也可以相连。

　　输出：A——n^2*n^2的邻接矩阵，记录顶点间的连接关系。

　　　　xy——n^*2的矩阵，记录顶点的位置信息。（其中n为上面的参数n，而非顶点个数，顶点个数为n^2）

preform_dijkstra.m:实现dijkstra算法。主要思想为找到从起始点到所有其他顶点的最短距离。为稀疏矩阵提供更加快捷的实现方法：perform_dijkstra_fast。

　　function [D,S] = perform_dijkstra(W, start_points, options)

　　参数说明：W——权重矩阵，W（i，j）表示从i顶点到j顶点之间的距离。

　　　　start_points——起始点。

　　　　options——end-points:设定终点。

　　　　　　　　　　use_mex：是否使用C语言产生的mex文件。

　　输出：D——n^2*1的向量，记录到起点的距离

　　　　S——描述状态，dead = -1，open = 0，far = 1.也就是说已到达顶点为-1，即将到达顶点为0，为到达顶点为1（为1的顶点即为上述D中Inf的顶点）。

preform_dijkstra_path_extraction.m:提取dijkstra算法所得到的路径。

　　function path = perform_dijkstra_path_extraction(A,D,end_points)

　　参数说明：A——上述使用gen_square_graph方法生成的A矩阵。

　　　　D——上述perform_dijkstra得到的D向量，记录到起点的距离，大小为n^2*1.

　　　　end_points——终点。

　　输出：path——输出路径。为经过的顶点序列号。

plot_dijkstra.m:画出结果

　　function plot_dijkstra(A, vertex, S, path, start_points,end_points, options )

　　参数说明：同上述参数

　　输出：如下图

红线表示最短路径，蓝点表示dijkstra算法计算了距起点距离的点，红点为分界线，黑点为Inf。分别对应perform_dijkstra中的输出S的三种状态值。

一点思考：如果用在三维中求测地距离，那么就需要先将.off文件转化为graph，并求出顶点间的距离（也即权重），然后就可以用dijkstra算法求出没两个顶点之间的测地距离。相比于上面的求解，要解决的问题是怎样计算三维模型顶点间的距离：首先计算邻接矩阵A，当两顶点相连则为1；然后计算权重矩阵B，也即欧式距离矩阵；最后preform_dijkstra即可得到测地距离矩阵。下面是对正八面体进行试验的代码：

clear;
[vertex,face] = read_off(‘test.off‘);
A = triangulation2adjacency(face,vertex);

B = zeros(size(A,1),size(A,2));
for i = 1:size(A,1)
for j = 1:size(A,2)
if(A(i,j) == 1)
%B(i,j) = sqrt((vertex(1,i)-vertex(1,j))^2+(vertex(2,i)-vertex(2,j))^2+(vertex(3,i)-vertex(3,j))^2);

B(i,j) = sqrt((vertex(:,i)-vertex(:,j))‘*(vertex(:,i)-vertex(:,j)));
end
end
end

[D,S] = perform_dijkstra(B, 2);