位向量 补码与无符号 加法与乘法 CSAPP学习笔记

计算机中用位来表示整数,一种方式只能表示非负数,一种可以表示有符号数。

无符号数编码:

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补码编码:

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由上面的定义可以知道补码与无符号之间的对应关系(见下式),最高位为0时,补码与无符号表示是一样的,而最高位为1时,举个例子,补码表示的-1对应于无符号数的4294967295(这里指的是32位数) 。

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在整数运算之前必须先了解 整数的扩展和截断 

扩展分为零扩展和符号扩展,零扩展是简单的在表示的开头添加0,适用于无符号数的扩展。而符号扩展在表示中添加最高有效位值的副本,适用于补码的扩展。比如4位的1101扩展成8位,即11111101,很容易证明无符号位的扩展不改变其值。

截断简单的来讲就是丢弃较高的位,这里我们把截断跟下面提到的‘取模’(mod)当做一回事。举个补码数字的截断,11101111截断到4位数值,得到的结果是1111即-1(这里还需要将位表示转换为无符号数),这里截断到4位于mod(16)等价(如果个人理解有误,还请看官指出)。

   PS:这里的mod与c/c++中的%有区别,c/c++中的除法是往0靠近,举个例子,-7%4=-3。

整数加法  两个数的w位补码之和与无符号之和有完全相同的位级表示!

无符号加法,由于两个数加起来可能会增加表示位的个数,这会使得字长膨胀,在一般的编程语言内,只支持固定精度的运算。当两个无符号数相加溢出时(两个w位加起来可能得到w+1位的值),规定丢弃最高位,等价于计算和模上2^w。

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补码加法,补码加法稍微复杂点,补码加法计算方法就是先将两个数转化为无符号数,相加(使用无符号加法的规则)之后再转化回来。

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其实我们平时在计算的时候只要用上面公式即可,不需要每次做计算都把整个过程走一遍,比如说先转化在相加取模在转化,啊,太烦了。

整数乘法 补码和无符号乘法运算的位级表示一样,终于知道为什么使用补码了吧,机器用同一种乘法指令来对乘法进行计算,对于加法也是一样

无符号乘法,固定的位的个数,所以直接对乘法结果取模,当实际计算两个32位长度的整数时,计算结果存放在两个寄存器中,最终的结果即其中一个寄存器的值(低32位)。

补码乘法,先得到两个数的乘积(就是补码表示的数的乘积,比如-1*7=-7),然后截断,再转化为有符号数。计算的式子如下

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现在来分析为什么乘法运算的位级表示一样,即为什么无符号和补码乘积的低位是相同的。因为对于相同的两个位模式,其表示的无符号值的乘积与补码乘积取模之后的结果是一样的,用x撇,y撇表示无符号值,x,y表示补码值,则有

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