Machine Learning 学习笔记 (1) —— 线性回归与逻辑回归
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1. 梯度下降法
梯度下降法是一种用来寻找函数最小值的算法。算法的思想非常简单：每次沿与当前梯度方向相反的方向走一小步，并不断重复这一过程。举例如下：
[例]使用梯度下降法，求的最小值。
第一步：求解迭代格式。根据“每次沿与当前梯度方向相反的方向走一小步”的思想，可知
第二步：选择迭代的初始值。初始值一般可以随意选择，但恰当的初始值有助于提升收敛速度。本例中选择
第三步：根据迭代格式和初始值进行迭代求解。迭代过程如下：
| k | x(k) | y(k) | z(x(k),y(k)) |
| 0 | 1.00 | 1.00 | 2.7000 |
| 1 | 0.40 | 0.20 | 2.0640 |
| 2 | 0.16 | 0.04 | 2.0083 |
| 3 | 0.06 | 0.01 | 2.0013 |
| 4 | 0.03 | 0.00 | 2.0002 |
| 5 | 0.01 | 0.00 | 2.0000 |
| 6 | 0.00 | 0.00 | 2.0000 |
结论：可以发现，第6次迭代后，算法收敛。所求最小值为2。
梯度下降算法如何进行收敛判定呢？一个通用的方法是判断相邻两次迭代中，目标值变化量的绝对值是否足够小。具体到上述例题，就是判断是否成立。
是一个足够小的正实数，可以根据所需要的精度进行选取，本例中
。
需要注意的是，梯度下降法有可能陷入局部最优解。可以通过多次随机选取初始值以及增加冲量项等方法加以改善，本系列后续文章中可能涉及。
2. 线性回归
线性回归是对自变量和因变量之间关系进行建模的回归分析，回归函数满足如下形式：
我们使用表示数据组数，使用
表示数据的维数；使用
和
表示第
组数据的自变量和因变量，使用
表示第
组数据自变量的第
个分量。推导过程基于如下假设：
即每一组数据的误差项相互独立，且均服从均值为0，方差为的正态分布。进而，我们可以得到似然函数：
对数似然函数：
化简，可得：
定义损失函数：
要使似然函数最大，只需使损失函数最小。我们使用损失函数的极小值代替最小值，只需对每一个求偏导数：
最后，使用梯度下降法迭代求解：
其中，为学习率，是一个大于0的常数。学习率应当慎重选择，过大会导致算法不收敛，过小会导致收敛速度缓慢。在实际应用中，可以根据具体情况对学习率进行调节。有资料表明，当
时，上述算法收敛。由于
难以高效计算，因此往往使用
来代替。
3. 逻辑回归
当因变量只能在{0,1}中取值时，线性回归模型不再适合，因为极端数据的存在会使阀值的选择变得困难。我们可以使用逻辑回归对数据进行建模。回归函数满足如下形式：
其中：
sigmoid函数具有如下性质：
推导过程基于如下假设：
考虑到取值的特殊性，上述假设等价于以下形式：
进而得到似然函数：
对数似然函数：
化简，得：
定义损失函数：
要使似然函数最大，只需使损失函数最小。我们使用损失函数的极小值代替最小值，只需对每一个求偏导数：
化简，得：
最后，使用梯度下降法迭代求解：
含义同上。
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