HDU 3842 Machine Works cdq分治 斜率优化

本题是利用cdq分治  实现斜率优化的一个题目

斜率优化之前做的几个题都是斜率单调，并且插入点时由于点在某一维单调，所以仅仅操作队首和队尾就能完成优化了

但是本题显然不是 

主要参考了两个东西

从《Cash》谈一类分治算法的应用

(Day1)cdq分治相关

这两个直接在百度上搜 ，第一个出来的就是

本题的题意是

一个公司获得了一个厂房n(10^5)天的使用权
和一笔启动资金C(10^9)，准备在n天里租借机器生产来获得收益
可以租借的机器有M(10^5)个，每个机器有四个值，D,P,R,G (D<=n, P,R,G都是10^9)
表明你可以再第D天花费P费用（首先手里必须有那么多钱）
租借这个机器，从D+1天开始该机器每天产生G的收益，在你不需要机器时
可以卖掉这个机器，一次获得R的钱


需要注意的是：
厂房里只能停留一台机器
不能再购买和卖出机器的那天操作机器，但是可以再同一天卖掉一台机器再买一台
在第n+1天，必须卖掉手里的机器
问n+1天后能获得的最大资金

根据这个题意

我们可以得到一个dp转移方程

首先要想的问题是是否有场地就要放机器

最开始的时候肯定不是这样，因为怕买到坑的机器很可能会亏钱，但是假设你买到了一台好的机器，在下一个机器进来之前，你肯定是一直运转下去的

然后得把所有的时间都离散化，就是每个机器的D

然后用f[i]表示在D[i]时刻卖掉手里的机器手里最多多少钱

f[i] = max(f[i - 1], f[j] - P[j] + R[j] + G[j] * (D[i] - D[j]  - 1))

其中f[j] >= P[j]

可以看出是O(n^2)的，显然不行啊

令h[j] = f[j] + R[j]- P[j] - G[j] * (D[j] + 1)

式子就变成  f[i] = h[j] + D[i] * G[j]

即h[j] = -D[i] * G[j] + f[i] 

对于这个， 可以抽象成一个二维空间

由(G[j],h[j])作为点集, -D[i]为斜率

然后求使得截距最大的那个，就是f[i]最大了

观察这些点集

可以发现，一点都不单调啊，就需要按照G[j]这一维做个排序

使得他至少在一维上单调，方便我们做插入和删除操作

然后由于斜率是单调递减的，并且是负数

可以画一画，最后要维护的最优点的点集，在图上形成的是一条上凸的线

然后每插一个点都是维护这个图形

然后这个排序，你在普通的DP方法里肯定是不能每次都去排序的

这就需要cdq分治了

对于一个区间l,r

你先更新了l,mid

然后对左边这部分的区间的点集， 进行排序，形成上面这个图形

然后更新右边区间的时候，

由于斜率是递减的，你可以发现，我们只需要扫一遍这个图形即可完成所有右边区间值的更新

然后就这样递归着去更新

完成cdq分治

总体复杂度，应该是nlognlogn

因为每个子区间中都有这个排序

代码还是参照xiaodao的，因为实在是不熟悉这个方法。

需要留意的是，在斜率之间做比较的时候，如果用乘法来比较的话，会溢出long long

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <set>
#include <vector>
#include <map>
#define MAXN 11111
#define MAXM 55555
#define INF 1000000007
using namespace std;
long long f[111111];
struct node {
    int d, p, g, r;
}p[111111];
bool cmp(node x, node y) {
    return x.d < y.d;
}
int n, d;
typedef pair<int, long long> PA;
PA A[111111], C[111111];
long long h(int j) {
    return f[j] + (long long)p[j].r - (long long)p[j].p - (long long)p[j].g * (long long)(p[j].d + 1);
}
int slopecomp(PA a, PA b, PA c) {
    long long xa = b.first - a.first;
    long long xb = c.first - a.first;
    long long ya = b.second - a.second;
    long long yb = c.second - a.second;
    double tmp = (double)xa * yb - (double)xb * ya;
    return tmp < 0;
}
void cdq(int l, int r) {
    if(l + 1 < r) {
        int m = (l + r) >> 1;
        cdq(l, m);
        int na = 0, nb = 0, nc = 0;
        for(int j = l; j < m; j++) {
            if(f[j] >= p[j].p) A[na++] = PA(p[j].g, h(j));
        }
        sort(A, A + na);
        for(int i = 0; i < na; i++) {
            while(nc > 1 && !slopecomp(C[nc - 1], C[nc], A[i])) nc--;
            C[++nc] = A[i];
        }
        int j = 0;
        for(int i = m; i < r; i++) {
            long long a1, a2, b1, b2, x;
            x = p[i].d;
            while(j < nc) {
                a1 = C[j].first;
                a2 = C[j + 1].first;
                b1 = C[j].second;
                b2 = C[j + 1].second;
                if(a1 * x + b1 >= a2 * x + b2) break;
                j++;
            }
            f[i] = max(f[i], (long long)C[j].first * x + C[j].second);
        }

        cdq(m, r);
    }
}
int main() {
    int cas = 0;
    while(scanf("%d%I64d%d", &n, &f[0], &d) != EOF) {
        if(n == 0 && f[0] == 0 && d == 0) break;
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d%d%d", &p[i].d, &p[i].p, &p[i].r, &p[i].g);
        sort(p + 1, p + n + 1, cmp);
        ++n;
        p[n].d = d + 1;
        p[n].g = p[n].p = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) f[i] = f[0];
        cdq(0, n + 1);
        printf("Case %d: %I64d\n", ++cas, f[n]);
    }
    return 0;
}