[经典面试题]子数组的最大乘积

题目

给定一个长度为N的整数数组，只允许用乘法，不能用除法，计算任意（N-1）个数的组合乘积中的最大的一组，并写出算法的时间复杂度。

思路一 穷举法

我们把所有可能的（N-1）个数的组合找出来，分别计算它们的乘积，并比较大小。由于总共有N个（N-1）个数的组合，总的时间复杂度为O(N^2),但显然这不是最好的思路。

思路二 空间换时间

计算（N-1）个数的组合乘积，假设第i个（0<=i<=N-1）元素被排除在乘积之外（如下图）。

设num[]为初试数组
Left[i]表示前i个元素（包括第i个元素）的乘积（0<=i<=N-1）
Left[i] = Left[i-1] * num[i]
Right[i]表示后N-i个元素（包括第i个元素）的乘积（0<=i<=N-1）
Right[i] = Right[i+1] * num[i]

设p[i]为数组除第i个元素外，其他N-1个元素的乘积：
P[i] = Left[i-1] * Right[i+1]

举个例子：

P[4] = Left[3] * Right[5]
= a1 * a2 * a3 * a4 * a6 * a7 * a8 * a9 * a10

由于只需要从头到尾，从尾到头扫描两次即可得到数组Left[] 和 Right[],从而线性时间得到P[i]。所以很容易的就可以得到最大值（只需遍历一次p数组）。总的时间复杂度为计算数组Left[]，Right[],p[]的时间复杂度加上查找p[]最大值的时间复杂度即O(N)。

代码一

  /*---------------------------------------------
    *   日期：2015-02-15
    *   作者：SJF0115
    *   题目: 子数组的最大乘积
    *   来源：
    *   博客：
    -----------------------------------------------*/
    #include <iostream>
    #include <cstring>
    using namespace std;

    class Solution {
    public:
        double MaxProduct(double num[],int n){
            if(n <= 0){
                return 0;
            }//if
            double max = num[0],p;
            double Left[n],Right[n];
            // 初始化
            Left[0] = num[0];
            Right[n-1] = num[n-1];
            // 计算Left数组
            for(int i = 1;i < n;++i){
                Left[i] = Left[i-1] * num[i];
            }//for
            // 计算Right数组
            for(int i = n-2;i >= 0;--i){
                Right[i] = Right[i+1] * num[i];
            }//for
            // max
            int left,right;
            for(int i = 0;i < n;++i){
                left = (i - 1) >= 0 ? Left[i-1] : 1;
                right = (i + 1) < n ? Right[i+1] : 1;
                p = left * right;
                if(p > max){
                    max = p;
                }//if
            }//for
            return max;
        }
    };


    int main() {
        Solution solution;
        double num[] = {-2.5,-4,0.5,3,1,2,-3};
        cout<<solution.MaxProduct(num,7)<<endl;
    }

思路二

通过分析，进一步减少计算量。假设N个数的乘积为P，针对P的正负性进行如下分析：
（1）P为0
那么，数组中至少包含一个0。假设除去一个0之外，其他N-1个数的乘积为Q，根据Q的正负性进行讨论：
Q为0，说明数组中至少有两个0，那么N-1个数的乘积只能为0。
Q为正，返回Q。因为如果用0替换剩余N-1个数中的任意一个，所得乘积结果都为0，小于之前的Q，因此乘积最大值为Q。
Q为负，返回0。因为如果用0替换剩余N-1个数中的任意一个，所得结乘积果都为0，大于之前的Q，因此乘积最大值为0。
（2）P为负
根据“负负得正”的乘法性质，自然想到的是从N个整数中去掉一个负数，使得N-1个数乘积为正数。而要使这个整数最大，这个被去掉的负数绝对值必须是数组中最小的。我们只需要扫描一遍数组，把绝对值最小的负数去掉就可以了。
（3）P为正
类似P为负的情况，应该去掉一个绝对值最小的正数值，这样得到的N-1个数乘积就是最大的。

上面的思路采用了直接求N个数的乘积P，进而判断P的正负性的办法，但是直接求乘积往往有溢出的危险，事实上可做一个小的转变，不需要直接乘积，而是求出数组中正数，负数和0的个数，从而判断P的正负性。

在时间复杂度上，由于只需要一次遍历数组，在遍历数组的同时就可得到数组中正数，负数和0的个数，以及数组中绝对值最小的正数和负数，时间复杂度为O(N)

代码二

    /*---------------------------------------------
    *   日期：2015-02-15
    *   作者：SJF0115
    *   题目: 子数组的最大乘积
    *   来源：
    *   博客：
    -----------------------------------------------*/
    #include <iostream>
    #include <climits>
    #include <cmath>
    using namespace std;

    class Solution {
    public:
        double MaxProduct(double num[],int n){
            if(n <= 0){
                return 0;
            }//if
            // 绝对值最小的负数,绝对值最小的正数
            double pMin = INT_MAX,nMin = INT_MAX;
            // 绝对值最小的负数,绝对值最小的正数,0的下标
            int pIndex = 0,nIndex = 0,zeroIndex;
            // 0,正数,负数个数
            int zCount = 0,pCount = 0,nCount = 0;
            // 去除掉元素的下标
            int index = 0;
            // 统计
            for(int i = 0;i < n;++i){
                if(num[i] == 0){
                    zeroIndex = i;
                    ++zCount;
                }//if
                else if(num[i] > 0){
                    ++pCount;
                    // 绝对值最小的正数
                    if(num[i] < pMin){
                        pIndex = i;
                        pMin = num[i];
                    }//if
                }//else
                else{
                    ++nCount;
                    // 绝对值最小的负数
                    if(fabs(num[i]) < nMin){
                        nMin = fabs(num[i]);
                        nIndex = i;
                    }//if
                }//else
            }//for
            // P为0
            if(zCount > 0){
                // Q为0
                if(zCount - 1 > 0){
                    return 0;
                }//if
                // Q为负
                if(nCount % 2){
                    return 0;
                }//if
                // Q为正
                else{
                    // 去掉下标为zeroIndex的元素
                    index = zeroIndex;
                }//else
            }//if
            // P为正去掉绝对值最小的正数
            else if(nCount % 2 == 0){
                index = pIndex;
            }
            // P为负去掉绝对值最小的负数
            else{
                index = nIndex;
            }//else
            // 最大乘积
            double max = 1;
            for(int i = 0;i < n;++i){
                if(i != index){
                    max *= num[i];
                }//if
            }//for
            return max;
        }
    };


    int main() {
        Solution solution;
        double num[] = {2.5,4,-0.5,3,-1,2,3};
        cout<<solution.MaxProduct(num,7)<<endl;
    }