RMQ 问题之Sparse_Table算法

RMQ问题，全名(Range Minimum/Maximum Query)，是求给定区间中的最值问题。

主要方法及复杂度如下：

1、朴素（即搜索），O(n)-O(qn) online。

2、线段树，O(n)-O(qlogn) online。

3、Sparse_Table（实质是动态规划），O(nlogn)-O(1) online。

4、RMQ标准算法：先规约成LCA（Lowest Common Ancestor），再规约成约束RMQ，O(n)-O(1) online。

昨天刚刚学了第三种，ST算法。

ST算法可以在O(nlogn)的预处理以后实现O(1)的查询效率，从而解决查询次数很多（如大于100万）的RMQ问题。

首先，是预处理。预处理是采用dp的思想，我们用f[i][j]表示区间[i,i+2^j-1]中的最大值（即从i开始，长度为2^j的闭区间）。

开始时，f[i][0]一定等于num[i]。好了，初始值找到了，下面是状态转移方程：

f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^(j-1)][j-1])。即把[i,i+2^j-1]区间分成两部分[i,i+2^(j-1)-1]和[i+2^(j-1),i+2^(j-1)+2^(j-1)-1]，正好和原区间一致。

有了初始值和转移方程，我们可以自底向上递推出所有的f[i][j]的值。

对于边界，还要注意一点。由于区间长度最大为n，所以二维边界最大为log(n)/log(2.0);

一维边界只要满足对于每个起始点，都可以有长度找到n就行了，也就是让i+2^j-1<=n就好了。

然后就是查询了。假设要查询区间[a,b]的最大值，由于区间的长度很可能不是2的整数幂，所以我们要把区间划分为长度为2的整数幂的两部分，而且这两个区间的并集必须是[a,b]。为了实现这个方案，我们需要先求出一个最大的k，使得2^k<=(b-a+1)，这样就可以把区间分成两部分[a,a+2^k-1]和[b-2^k+1,b]，使他们既能不超过a,b区间的范围，又能把区间全部覆盖。于是，[a,b]区间的最大值就等于上述两个区间的最大值中最大的那个。

//其他解释

算法（SparseTable）：

       它是一种动态规划的方法。以最小值为例。a为所寻找的数组，用一个二维数组   f(i,j)记录区间[i,i+2^j-1]区间中的最小值。其中f[i,0] = a[i];所以，对于任意 的一组(i,j)，f(i,j) =min{f(i,j-1),f(i+2^(j-1),j-1)}来使用动态规划计算出来。   这个算法的高明之处不是在于这个动态规划的建立，而是它的查询：它的查询效 率是O(1)！如果不细想的话，怎么弄也是不会想到有O（1）的算法的。假设我们要求区间[m,n]中的最小值，找到一个数k使得2^k<n-m+1，即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]这样， 可以把这个区间分成两个部分：[m,m+2^k-1]和[n-2^k+1,n]！我们发现，这两个区间是已经初始化好的！前面的区间是f(m,k)，后面的区间是f(n-2^k+1,k)！这样，只要 看这两个区间的最小值，就可以知道整个区间的最小值！

    因此，预处理时间复杂度为O(nlogn)。这个算法记录了所有长度形如2k的所有询问的结果。从这里可以看出，稀疏表算法的空间复杂度为O(nlogn)。

代码：

#include <math.h>
#include <stdio.h>
#define max(a,b) a>b?a:b
#define min(a,b) a<b?a:b
const int N=100005;
int n,Q,c[N],a,b;
int dp_max[N][20];  //20不一定是唯一的。需要计算log(N)/log(2)
int dp_min[N][20];  
void Init()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dp_max[i][0] = dp_min[i][0] = c[i];
    double limit = log(n)/log(2.0);
    for(int j=1;j<=(int)limit;j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
        {
            dp_max[i][j] = max(dp_max[i][j-1],dp_max[i+(1<<(j-1))][j-1]);
            dp_min[i][j] = min(dp_min[i][j-1],dp_min[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
}
int Get_Max(int a,int b)
{
    int k = (int)(log(b-a+1)/log(2.0));
    return max(dp_max[a][k],dp_max[b-(1<<k)+1][k]);
}
int Get_Min(int a,int b)
{
    int k = (int)(log(b-a+1)/log(2.0));
    return min(dp_min[a][k],dp_min[b-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&Q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&c[i]);
    Init();
    while(Q--)
    {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",Get_Max(a,b)-Get_Min(a,b));
    }
    return 0;
}