常用算法之分治法与动态规划法

          之所以把这两种算法放到一起，是因为它们都是用来求最优解的问题，与贪心算法是不同的。但是这两种算法又有一些区别，下面来做解释：

          分治，即分而治之，把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

    上图用一个例子来解释如下：

     当n>1时，想求得T(n)，必须知道T(n-1)，以此类推，所以要想求得T(n)就必须将T(n)分解，从最小的子问题开始计算，最终求得T(n)，这个过程就是一个递归。分治与递归像一对孪生兄弟，经常在分治中用到递归。

使用场合：

    1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

    2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

    3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

    4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

     第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

     第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

     第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

  第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

   应用框架：

/*分治法——归并排序   
 * 二路归并排序的分治策略是：   
（1）划分：将待排序序列r1, r2, …, rn划分为两个长度相等的子序列r1, …, rn/2和rn/2＋1, …, rn；   
（2）求解子问题：分别对这两个子序列进行排序，得到两个有序子序列；   
（3）合并：将这两个有序子序列合并成一个有序序列。   
 */      
public class MergeSort {      
      
    /**   
     * @param args   
     */      
    public static void main(String[] args) {      
        int a[] = { 21, 34, 56, 43, 99, 37, 78, 10 };// 这里对8个元素进行排序      
        int low = 0, high = 7;// 初始化low和high的值，即数组的起始和终止的坐标      
        // 辅助数组b，作为临时数组      
        int b[] = new int[a.length];      
        //输出排序前的数组      
        System.out.print("排序前：");      
        for (int i = 0; i <= high; i++) {      
            System.out.print(a[i] + " ");      
        }      
        // 归并排序      
        mergerSort(a, low, high, b);      
        //输出排序后的数组      
        System.out.print("排序后：");      
        for (int i = 0; i <= high; i++) {      
            System.out.print(a[i] + " ");      
        }      
    }      
      
    /**   
     * 分治和归并   
     *    
     * @param a   
     * @param low   
     * @param high   
     * @param b   
     */      
    public static void mergerSort(int a[], int low, int high, int b[]) {      
        int mid = 0;      
        if (low < high) {      
            mid = (high + low) / 2;// 分治位置,即将数组拆分的位置      
            mergerSort(a, low, mid, b);      
            mergerSort(a, mid + 1, high, b);      
            merger(a, low, mid, high, b);// 归并      
        }      
    }      
      
    /**   
     * 合并两个有序子序列   
     *    
     * @param a   
     * @param low   
     * @param mid   
     * @param high   
     * @param b   
     *            辅助数组   
     */      
    public static void merger(int[] a, int low, int mid, int high, int b[]) {      
      
        int i = low;      
        int j = mid + 1;      
        int p = 0;      
        // 合并两个有序数组 子序列1 a[low..mid] 子序列2 a[mid+1..high]      
        while (i <= mid && j <= high) {      
            b[p++] = (a[i] <= a[j]) ? a[i++] : a[j++];      
        }      
        // 如果子序列1没有合并完则直接复制到复制数组中去      
        while (i <= mid) {      
            b[p++] = a[i++];      
        }      
        // 如果子序列2没有合并完则直接复制到复制数组中去      
        while (j <= high) {      
            b[p++] = a[j++];      
        }      
        // 把辅助数组的元素复制到原来的数组中去      
        for (p = 0, i = low; i <= high; i++, p++) {      
            a[i] = b[p];      
        }      
    }      
}