常用算法之动态规划法

            上一篇博客我们讲了分治法，紧接着讲动态规划法：动态规划法和分治法类似，它也是将大问题分解成子问题求解，求最优解，不同的是，如果分解的子问题有很多是相同的，采用分治法相同的子问题会求解多次，很影响效率；动态规划法呢，它会保存已解决的子问题的答案，再有相同的子问题直接用保存的答案就行了，节省了很多计算时间。

      如一张图表示：

例：

解：我们先求F(5)的解，如下，以二叉树的结构表示

    通过二叉树，我们注意到，F(n)是通过计算它的两个重叠子问题 F(n-1)和F(n-2)的形式来表达的，所以，可以设计一张表填入n+1个F(n)的值。通过下面的表会发现：后一个数等于前面两个数的和。（这就是著名的斐波那契数）

所以，使用动态规划法的情况，对于一个问题具有的性质可以总结为：最优子结构，重叠子问题

适用情况：

   (1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

      (2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

    （3）有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

 应用实例：

<span style="font-size:14px;">  public class CoinsChange {  
        /**  
         * 硬币找零：动态规划算法  
         *   
         * @param values  
         *            :保存每一种硬币的币值的数组  
         * @param valueKinds  
         *            :币值不同的硬币种类数量，即coinValue[]数组的大小  
         * @param money  
         *            :需要找零的面值  
         * @param coinsUsed  
         *            :保存面值为i的纸币找零所需的最小硬币数  
         */ 
        public static void makeChange(int[] values, int valueKinds, int money,  
                int[] coinsUsed) {  
     
            coinsUsed[0] = 0;  
            // 对每一分钱都找零，即保存子问题的解以备用，即填表  
            for (int cents = 1; cents <= money; cents++) {  
     
                // 当用最小币值的硬币找零时，所需硬币数量最多  
                int minCoins = cents;  
     
                // 遍历每一种面值的硬币，看是否可作为找零的其中之一  
                for (int kind = 0; kind < valueKinds; kind++) {               
                    // 若当前面值的硬币小于当前的cents则分解问题并查表  
                    if (values[kind] <= cents) {  
                        int temp = coinsUsed[cents - values[kind]] + 1;  
                        if (temp < minCoins) {  
                            minCoins = temp;  
                        }  
                    }  
                }  
                // 保存最小硬币数  
                coinsUsed[cents] = minCoins;  
     
                System.out.println("面值为 " + (cents) + " 的最小硬币数 : " 
                        + coinsUsed[cents]);  
            }  
        }  
          
        public static void main(String[] args) {  
     
            // 硬币面值预先已经按降序排列  
            int[] coinValue = new int[] { 25, 21, 10, 5, 1 };  
            // 需要找零的面值  
            int money = 63;  
            // 保存每一个面值找零所需的最小硬币数，0号单元舍弃不用，所以要多加1  
            int[] coinsUsed = new int[money + 1];  
     
            makeChange(coinValue, coinValue.length, money, coinsUsed);  
        }  
    } </span>