算法设计与分析——多边形游戏（DP）

浏览数：82 / 时间：2015年06月08日

1、问题描述：

给定N个顶点的多边形，每个顶点标有一个整数，每条边上标有+(加)或是×(乘)号，并且N条边按照顺时针依次编号为1~N。下图给出了一个N＝4个顶点的多边形。

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游戏规则：(1) 首先，移走一条边。

　　　　　　　 (2) 然后进行下面的操作：选中一条边E，该边有两个相邻的顶点，不妨称为V1和V2。对V1和V2顶点所标的整数按照E上所标运算符号(+或是×)进行运算，得到一个整数；用该整数标注一个新顶点，该顶点代替V1和V2 。持续进行此操作，直到最后没有边存在，即只剩下一个顶点。该顶点的整数称为此次游戏的得分(Score)。

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2、问题分析：

　　解决该问题可用动态规划中的最优子结构性质来解。

　　设所给的多边形的顶点和边的顺时针序列为op[1],v[1],op[2],v[2],op[3],…,op[n],v[n] 其中，op[i]表示第i条边所对应的运算符，v[i]表示第i个顶点上的数值，i=1~n。

　　在所给的多边形中，从顶点i（1<=i<=n）开始，长度为j（链中有j个顶点）的顺时针链p(i,j）可表示为v[i],op[i+1],…,v[i+j-1]，如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生（1<=s<=j-1），则可在op[i+s]处将链分割为两个子链p(i,s)和p(i+s,j-s)。

　　设m[i,j,0]是链p(i,j)合并的最小值，而m[i,j,1]是最大值。若最优合并在op[i+s]处将p(i,j)分为两个长度小于j的子链的最大值和最小值均已计算出。即：

　　 a=m[i,s,0] b=m[i,s,1] c=m[i,s,0] d=m[i,s,1]

　　(1) 当op[i+s]=’+’时

　　　　m[i,j,0]=a+c ；m[i,j,1]=b+d

　　 (2) 当op[i+s]=’*’时

　　　　 m[i,j,0]=min{ac,ad,bc,bd} ； m[i,j,1]=max{ac,ad,bc,bd}

　由于最优断开位置s有1<=s<=j-1的j-1中情况。初始边界值为 m[i,1,0]=v[i] 1<=i<=n m[i,1,1]=v[i] 1<=i<=n

因为多变形式封闭的，在上面的计算中，当i+s>n时，顶点i+s实际编号为(i+s)modn。按上述递推式计算出的m[i,n,1]记为游戏首次删除第i条边后得到的最大得分。

代码如下：

 1 //2015.5.2：——Anonymous
 2 #include<string.h>
 3 #include<stdio.h>
 4 int v[101];
 5 int n;
 6 char op[101];
 7 int minf,maxf;
 8 int m[101][101][2];
 9 void minMax(int i,int s,int j)
10 {
11     int e[5];
12     int a=m[i][s][0],
13         b=m[i][s][1],
14         r=(i+s-1)%n+1,
15         c=m[r][j-s][0],
16         d=m[r][j-s][1];
17     if(op[r]==‘t‘)
18     {
19         minf=a+c;
20         maxf=b+d;
21     }
22     else
23     {
24         e[1]=a*c;
25         e[2]=a*d;
26         e[3]=b*c;
27         e[4]=b*d;
28         minf=e[1];
29         maxf=e[1];
30         for(int k=2; k<5; k++)
31         {
32             if(minf>e[k])
33                 minf=e[k];
34             if(maxf<e[k])
35                 maxf=e[k];
36         }
37     }
38 }
39 int main()
40 {
41     memset(m,0,sizeof(m));
42     scanf("%d",&n);
43     getchar();
44     for(int i=1; i<=n; i++)
45     {
46         scanf("%c",&op[i]);
47         scanf("%d",&v[i]);
48         m[i][1][0]=v[i];
49         m[i][1][1]=v[i];
50         getchar();
51     }
52     for(int j=2; j<=n; j++)//链的长度
53         for(int i=1; i<=n; i++)//删掉第i条边
54             for(int s=1; s<j; s++)//断开的位置
55             {
56                 minMax(i,s,j);
57                 if(m[i][j][0]>minf)
58                     m[i][j][0]=minf;
59                 if(m[i][j][1]<maxf)
60                     m[i][j][1]=maxf;
61             }
62     int temp=m[1][n][1];
63     for(int i=2; i<=n; i++)
64     {
65         if(temp<m[i][n][1])
66             temp=m[i][n][1];
67     }
68     printf("%d\n",temp);
69     return 0;
70 }