希尔排序

也称递减增量排序算法，是插入排序的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。

希尔排序是基于插入排序的以下两点性质而提出改进方法的：

1、插入排序在对几乎已经排好序的数据操作时， 效率高， 即可以达到线性排序的效率；

2、插入排序一般来说是低效的， 因为插入排序每次只能将数据移动一位；

算法原理

基础是插入排序，我们先看图，图片动态展示：

这个图太快了还是不知道他在干嘛，在给一张图（图片均来自互联网）：

步长选择

希尔排序中步长的选择是重中之重！【来自于维基百科】

1、最终步长必须为1，任何步长串行都可以工作。算法最开始以一定的步长进行排序。然后会继续以一定步长进行排序，最终算法以步长为1进行排序。当步长为1时，算法变为插入排序，这就保证了数据一定会被排序。

2、初始步长选择：Donald Shell 最初建议步长选择为并且对步长取半直到步长达到 1。虽然这样取可以比类的算法（插入排序）更好，但这样仍然有减少平均时间和最差时间的余地。

希尔排序最重要的地方在于当用较小步长排序后，以前用的较大步长仍然是有序的。比如，如果一个数列以步长5进行了排序然后再以步长3进行排序，那么该数列不仅是以步长3有序，而且是以步长5有序。如果不是这样，那么算法在迭代过程中会打乱以前的顺序，那就不会以如此短的时间完成排序了。

已知的最好步长串行是由Sedgewick提出的 (1, 5, 19, 41, 109,...)，该串行的项来自 9 * 4^i - 9 * 2^i + 1 和 4^i - 3 * 2^i + 1 这两个算式。这项研究也表明“比较在希尔排序中是最主要的操作，而不是交换。”用这样步长串行的希尔排序比插入排序和堆排序都要快，甚至在小数组中比快速排序还快，但是在涉及大量数据时希尔排序还是比快速排序慢。

另一个在大数组中表现优异的步长串行是(斐波那契数列除去0和1将剩余的数以黄金分区比的两倍的幂进行运算得到的数列)：（1, 9, 34, 182, 836, 4025, 19001, 90358, 428481, 2034035, 9651787, 45806244, 217378076, 1031612713, …）

图解

如图2：步长为3时，我们把数据分组为：a[1], a[4], a[7]与a[2], a[5], a[8]与a[3], a[6], a[9]，我们分别对这三组进行插入排序；

步长为2时，我们继续分组为：a[1], a[3], a[5], a[7], a[9]与a[2], a[4], a[6], a[8]，我们分别对这两组排序；

步长为1时，进行真正的插入排序，但由于大量数据以有序，所以实际时间复杂度会小于原始的插入排序。

算法实现

Python实现：

#-*- encoding: utf-8 -*-

def shell_sort(st_bf):
    # 希尔排序
    lens = len(st_bf)/2
    steps = [lens]
    while (lens > 1):
        lens /= 2
        steps.append(lens)
    
    for step in steps:
        print 'steps = {}'.format(step)
        for i in xrange(step, len(st_bf)):  
            temp = st_bf[i]  
            j = i - step 
            while j >= 0 and st_bf[j] > temp:  
                st_bf[j+step] = st_bf[j]    
                j -= step  
            st_bf[j+step] = temp  
            print st_bf    
            
st_bf = [6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4, 2]

shell_sort(st_bf)

结果为：

>>> ================================ RESTART ================================
>>> 
steps = 4
[6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4, 2]
[6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4, 2]
[6, 5, 2, 1, 8, 7, 3, 4, 2]
[6, 5, 2, 1, 8, 7, 3, 4, 2]
[2, 5, 2, 1, 6, 7, 3, 4, 8]
steps = 2
[2, 5, 2, 1, 6, 7, 3, 4, 8]
[2, 1, 2, 5, 6, 7, 3, 4, 8]
[2, 1, 2, 5, 6, 7, 3, 4, 8]
[2, 1, 2, 5, 6, 7, 3, 4, 8]
[2, 1, 2, 5, 3, 7, 6, 4, 8]
[2, 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8]
[2, 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8]
steps = 1
[1, 2, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
[1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
>>> 

C++实现：

#include <iostream>
using namespace std;

void print (int st_bf[], size_t size){
    for (size_t i = 0; i < size; i++)
    {
        cout<< st_bf[i] << " ";
    }
    cout<< endl;
}

void insert_sort(int st_bf[], size_t size){
    // 插入排序代码
    for (size_t i = 1; i < size; ++i)
    {
        int temp = st_bf[i];
        int j = i - 1;
        while (j >= 0 and st_bf[j] > temp)
        {
            st_bf[j+1] = st_bf[j];
            j -= 1;
        }
        st_bf[j+1] = temp;
        print(st_bf, size);
    }
}

void shell_sort (int st_bf[], size_t size){
    // 伪希尔排序代码
    // k 为步长
    for (size_t k = size/2; k > 1; k = k/2)
    {
        cout << "k = " << k << endl;
        // i < k起分组哨兵的作用，否则重复比较 j< size避免越界
        for (int i = 0, j = i+k; i < k and j < size; ++i, ++j)
        {
            for(int m = i, n = j; n < size;  m += k, n += k)
            {
                cout << "i = " << m << " , j = " << n << endl;
                cout << st_bf[m] << " " << st_bf[n] << endl;
                if (st_bf[m] > st_bf[n])
                {
                    int temp = st_bf[n];
                    st_bf[n] = st_bf[m];
                    st_bf[m] = temp;
                }
            }
        }
        print(st_bf, size);
    }
    // n = 1 普通插入排序
    cout << "k = 1" << endl;
    insert_sort(st_bf, size);

}

void shellsort(int *st_bf, size_t size)
// 真正的希尔排序
{
    for (size_t k = size/2; k >= 1; k = k/2)
    {
        cout << "k = " << k << endl;
        for (int i = k; i < size; ++i)
        {
            int temp = st_bf[i];
            int j = i - k;
            while (j >= 0 and st_bf[j] > temp)
            {
                st_bf[j+k] = st_bf[j];
                j -= k;
            }
            st_bf[j+k] = temp;
        }
        print(st_bf, size);
    }
}

int main(){
	int st_bf[] = {6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4, 2};
	size_t size = sizeof(st_bf)/sizeof(st_bf[0]);
	insert_sort(st_bf, size);
	cout << "==========="<< endl;

	int st_bf1[] = {6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4, 2};
	size = sizeof(st_bf1)/sizeof(st_bf1[0]);
    shell_sort(st_bf1, size);

    cout << "==========="<< endl;
    int st_bf2[] = {6, 5, 3, 1, 8, 7, 2, 4, 2};
    shellsort(st_bf2, size);
    return 0;
}

参考资料