union-find算法

 1.背景

《算法》一书中提到了关于算法的一些基本思想

  • 优秀的算法因为能够解决实际的问题而变得更为重要;
  • 高效算法的代码可以很简单;
  • 理解某个实现的性能特点是一项有趣而令人满足的挑战;
  • 在解决同一个问题的多种算法之间进行选择时,科学方法是一项重要工具;
  • 迭代式改进能够让算法效率越来越高;

使用union-find算法解决连通性问题,所谓连通性问题就是在下图网络中可以看到有很多节点,节点与节点之间的连接对称为连通分量,要求编写程序判断网络中有多少组连通分量,随意给出两个节点要求判断这两个节点是否属于同一个分量。在连通图中有如下一些定义,假如一个节点p没有和任何其他节点相连,则此节点属于一个连通分量,如果一个节点p和节点q相连,则p-q为一个连通分量,如果p和q相连,q和r相连,则p-q-r为一个连通分量。

2.算法分析

……

3.算法实现

为了解决此问题,需要先设计一个API来封装所需要的基本操作:初始化,连接两个节点,判断包含某个节点的分量,判断两个节点是否属于同一个分量之中,并且返回所有分量的个数。

public class UF
UF(int N)                                 整数标示N个节点
void          union(int p, int q)         在pq之间添加一条连线,标示连接pq
int           find(int p)                 节点p所在分量的标示符
Boolean       connected(int p, int q)     如果p和q存在于同一个分量中则返回true
int           count()                     连通分量的个数

代码实现一:

import java.util.Scanner;
public class UF { private int[] id; //分量的id private int count; //分量的数量 //初始化分量id数组 public UF(int N) { count = N; id = new int[N]; for (int i = 0; i < N; i++) { id[i] = i; } } //返回分量的数量 public int count() { return count; } //判断两个节点是否属于同一个分量 public boolean connected(int p, int q) { return find(p) == find(q); } //求节点p所属的分量id public int find(int p) { return id[p]; } //连接节点pq //首先检查pq是否在同一个分量中,如果是则不做任何操作,否则要求p所在的连通分量中 //所有节点id必须相同,q所在的连通分量中所有节点id也相同但为另外的值,要将二者合 //二为一,则将q所在分量的所有节点id均变为p节点的id或相反 public void union(int p, int q) { int pId = find(p); int qId = find(q); if (pId == qId) { return; } for (int i = 0; i < id.length; i++) { if (id[i] == qId) { id[i] = pId; } } count--; } public static void main(String[] args) { @SuppressWarnings("resource") Scanner scanner = new Scanner(System.in); int N = scanner.nextInt(); UF uf = new UF(N); while (scanner.hasNext()) { int p = scanner.nextInt(); int q = scanner.nextInt(); if (uf.connected(p, q)) { continue; } uf.union(p, q); System.out.println(p + "--" + q); } System.out.println(uf.count() + " components"); } }
使用这种find和union实现可以看到,对于find操作非常快,但对于union每一对节点输入都可能需要进行对整个id数组进行遍历,对于id数组的访问时间为O(N^2),所以当输入节点很多时用这个算法来统计连通分量就不行了,此时union的时间复杂度为O(N),find的复杂度为O(1)。

代码实现二:

public int find2(int p) {
	while (p != id[p]) {
		p = id[p];
	}
	return p;
}

public void union2(int p, int q) {
	int pId = find2(p);
	int qId = find2(q);
	
	if (pId == qId) {
		return;
	}
	
	id[qId] = pId;
	count--;
}

使用这种find2和union2实现可以看到,对于调用到find2时,在某些情况下对于id数组访问的时间复杂度依然为O(N^2),此时find2的时间复杂度为树的高度N,union2的复杂度也为树的高度N。

代码实现三:

public class WeightedQuickUF {
	private int[] id;     //节点的索引
	private int[] w;      //每个根节点对应分量的大小
	private int count;
	
	public WeightedQuickUF(int N) {
		count = N;
		id = new int[N];
		w = new int[N];
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			id[i] = i;
			w[i] = 1;
		}
	}
	
	//返回分量的数量
	public int count() {
		return count;
	}
	
	//判断两个节点是否属于同一个分量
	public boolean connected(int p, int q) {
		return find(p) == find(q);
	}
	
	public int find(int p) {
		while (p != id[p]) {
			p = id[p];
		}
		return p;
	}
	
	public void union(int p, int q) {
		int pId = find(p);
		int qId = find(q);
		
		if(pId == qId) {
			return;
		}
		
		if (w[pId] < w[qId]) {
			id[pId] = qId;
			w[qId] += w[pId];
		} else {
			id[qId] = pId;
			w[pId] += w[qId];
		}
		count--;
	}
}

对第二种实现做一些改进,使用加权的算法,使用加权算法保证在使用union时总是将小树的根节点连接到大树上,此时find和union的复杂度均为树的高度lgN,所以访问id数组的复杂度最坏情况为cMlgN,此时C为常数,M为连接数,N为节点数。

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