建模算法(三)——非线性规划
一、非线性规划和线性规划不同之处
1、含有非线性的目标函数或者约束条件
2、如果最优解存在,线性规划只能存在可行域的边界上找到(一般还是在顶点处),而非线性规划的最优解可能存在于可行域的任意一点达到。
二、非线性规划的Matlab解法
1、Matlab中非线性规划的数学模型为:
其中f(x)是标量函数,A,B,Aeq,Beq是相应维数的矩阵和向量,C(x),Ceq(X)是非线性向量函数。
然后我们通过一个例子来加深印象
MATLAB实现:
function f=fun1(x) %定义目标函数 f=sum(x.^2)+8;
function [g,h]=fun2(x) %非线性约束条件 g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; h=[-x(1)-x(2)^2+2 x(2)+2*x(3)^2-3];
options = optimset(‘largescale‘,‘off‘); [x,y]=fmincon(‘fun1‘,rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],‘fun2‘,options) %初始值是个随意的数字
2、求解线性规划的基本迭代格式
(1) 这一块主要是一些概念,认识了这些概念,才能继续理解下面的思想,不得不看,不要觉得烦,就想学加减乘除,我们必须定下’+’就是加这个规则一样,所以我们要理解这些概念。
(2)对于NP问题(非线性规划),可以采用迭代方法求它的最优解。基本思想就是:
从一个选定的初始点出发,按照某一特定的迭代规则产生一个点列,使得当时有穷点列时,其最后一个是NP的最优解;当时无穷点列是,它存在极限,并且极限点就是NP的最优解
(3)求解NP问题的一般步骤
在列出步骤之前,我们要先理解一个概念(用来决定搜索的最佳方向)
一般步骤为:
b、构造搜索方向,按照一定的规划,构造f在点处关于K的可行下降方向作为搜索方向。
c、求出下一个迭代点,按迭代格式求出
若满足了某种终止条件,就停止迭代
(4)凸函数、凸规划
这种规划的特点在于,他的局部最优解就是全局最优解,这是很棒的特性,说明这一类的NP问题很容易进行求解。
(二)无约束问题
一、一维搜索方法
例如一维极小化问题,若f(t)是[a,b]区间上的下单峰函数,通过不断地缩短[a,b]的长度,来搜索得到近似最优解。
就是找到关于这个区间对称的2点,然后比较这两点的大小,那么t*肯定将大的那边回缩,构造一个更小的区间来求解,这样的话最后就取到极限值,就可以得到最优解。
1、斐波那契数列法
这个方法就是用来确定步长是如何取得一种方式,是采用斐波那契分数来刻画每次区间的差值。
然后就是经过一系列的探索之后,使最后的探索点和最优解之间的距离不超过精度,也就是最后的区间长度不能超过这个,这样子的话,我们可以通过精度,反过来确定需要探索的次数N,进行N次停下来,最终的就是最优解。
下面是算法的整体思路(编程思路)
2、0.618法(黄金分割法)
只是将比值改为了0.618,这样子的话,编程实现起来更加的简单,只要将上述的第三部中的斐波那契比值改为0.618即可。
3、二次插值法(暂时略过)
4、无约束极值问题的解法
(2)解析法——梯度法
对于基本的迭代格式,我们首先要确定的是搜索方向,那么由微积分的知识可得,沿着负梯度的方向是f下降最快的方向,所以我们作为我们以为搜索的方向。
这个方法的特点就是每次搜索的方向都是下降最快的方向,于是乎我们的停止条件为:
具体步骤如下:
在此举出一个例题
MATLAB实现
function [f,df]=detaf(x) f=x(1)^2+25*x(2)^2; df=[2*x(1) 50*x(2)];
x=[2;2]; [f0,g]=detaf(x); while norm(g)>1e-6 p=-g/norm(g); t=1.0; f=detaf(x+t*p); while f>f0 t=t/2; f=detaf(x+t*p); end x=x+t*p; [f0,g]=detaf(x); end x,f0
最后极值趋近于0,差不多= =。
(3)解析法——牛顿法
其实就是用二次展开式逼近,确定出一个搜索的方向。至于中间的计算(呵呵了- -)
然后一般步骤(编程思路)
然后举一题例题
我们可以通过计算得到
然后使用MATLAB编程求解(其实用C也可以。。)
function [f,df,d2f]=nwfun(x) f=x(1)^4+25*x(2)^4+x(1)^2*x(2)^2; df=[4*x(1)^3+2*x(1)*x(2)^2 100*x(2)^3+2*x(1)^2*x(2)]; d2f=[12*x(1)^2+2*x(2)^2,4*x(1)*x(2) 4*x(1)*x(2),300*x(2)^2+2*x(1)^2];
x=[2;2]; [f0,g1,g2]=nwfun(x); while norm(g1)>0.00001 p=-inv(g2)*g1; x=x+p; [f0,g1,g2]=nwfun(x); end x,f0
然后如果目标函数不是二次函数,那么一般来说Newton法不能保证求得最优解。
为了提高计算精度,我们在迭代的时候依旧可以使用变步长的方法。
x=[2;2]; [f0,g1,g2]=nwfun(x); while norm(g1)>0.00001 p=-inv(g2)*g1; p=p/norm(p); t=1.0; f=nwfun(x+t*p); while f>f0 t=t/2; f=nwfun(x+t*p) end x=x+t*p; [f0,g1,g2]=nwfun(x); end x,f0
(3)解析法——变尺度法
这是用来解决Newton法求逆矩阵太耗时而研究出的一种解决的方法。推到我们可以直接略过吧。
直接写出一般步骤
(4)直接法——Powell方法
5、无约束问题的MATLAB方法。。(= =,早说,我都不写了)
1、无约束问题的MATLAB格式
(1)fminunc命令
例子如下
MATLAB调用解题
(2)fminsearch命令
(三)约束极值问题
一、二次规划
1、定义:目标函数是x的二次函数,而且约束条件都是线性的。
2、一般数学模型
3、MATLAB的求解函数
二、外罚函数法
例题:
求解
三、MATLAB求约束极值问题
1、fminbnd函数
2、fseminf函数
3、fseminf函数
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