寻找数组中缺少的整数(Find the missing integer)

数组a中含有N个元素，其元素属于[0，N]之间，且不存在重复的元素，请你找出数组中缺失的元素(因为[0，N]之间有N+1个元素，而数组只能存储N个元素，所以必然缺少一个元素)。其中对数组的操作满足下列的条件：不能在常数时间内读取数组中的元素，但是可以读取数组中元素的某一个bit值，能够在常数时间内交换数组的两个元素的位置。请设计一种算法使其能够在线性时间内找出数组中缺失的元素。(N=2^k)

An array a[] contains all of the integers from 0 to N, except 1. However, you cannot access an element with a single operation. Instead, you can call get(i, k) which returns the kth bit of a[i] or you can call swap(i, j) which swaps the ith and jth elements of a[]. Design an O(N) algorithm to find the missing integer. For simplicity, assume N is a power of 2

算法设计：有题设可知，[0,N]之间奇数和偶数个数之差等于1，如果缺失偶数，则奇数和偶数的数目相等，反之缺失奇数。如何判断元素的奇偶呢？题设给出只能在常数时间内访问数组元素的某个bit值，所以只需看元素的最后一个bit为0还是1即可，这样通过一次扫描数组可以排除n/2个元素。利用此法(判断0,1个数的多少)我们就可以找出缺失的元素。重复上述操作即可。

算法性能分析：

第一次扫面元素判断奇偶，需要循环n次，从而排除n/2个元素，因此第二次循环需要循环n/2次，一次类推，总共的循环次数为T

T=n+n/2+n/4+n/8+……+1=O(n)，为此达到了题目的要求。

算法实现：

<span style="font-size:10px;">void swap(int* a, int i, int j)
{
	int temp = a[i];
	a[i] = a[j];
	a[j] = temp;
}
int get(int* a, int i, int k)
{
	int res = a[i]>>k & 1;
	return res;
}
int Find_the_missing_integer(int* a, int low, int high)
{
	int res = 0;
	int power = 1;
	int count0 = 0;
	int count1 = 0;
	int n = high-low+1;
	int pointer0 = 0;
	int i=0;
	while(n>0)
	{
		for(int j=low; j<=high;j++)
		{
			if(get(a,j,i) == 0)
			{
				count0++;
				swap(a,j,pointer0);
				pointer0++;
			}
			else
			{
				count1++;
			}
		}
		if(count0>count1)
		{
			res = res + power*1;
			low = pointer0;
			n = count1;
		}
		else
		{
			res = res + power*0;
			high = pointer0 - 1;
			pointer0 = low;
			n = count0;
		}
		power = power*2;
		count0 = 0;
		count1 = 0;
		i++;
	}
	return res;
}</span>

测试代码：

#include <iostream>
using namespace std;
void swap(int* a, int i, int j);
int get(int* a, int i, int k);
int Find_the_missing_integer(int* a, int low, int high);
void main()
{
	int a[]={1,2,3,4,5,6,7,0};
	cout<<Find_the_missing_integer(a,0,7);
}