离散时间序列的内插算法(利用fft)
有些时候,为了后续处理更方便,我们需要对采集到的数据点进行内插处理,也就是所谓的增采样。本文就来讨论一下常用的几种内插算法。
利用FFT实现信号内插
我们的信号 x(t) 是个实信号,带宽有限,能量有限。x[n] =x(nΔ)和 x’[n] =x(nΔ’)是对这个信号的两种采样,并且都满足采样定理的要求,也就是说信息并没有丢失。两次采样的采样率满足如下关系。
也就是说第二种采样的采样率是第一种采样的采样率的M 倍。如果我们有了x’[n],那么很容易获得x[n]:
但是反过来就不是那么容易了。下面就来推导如何在已知x[n]的情况下,计算出x’[n]。
设x[n]序列的长度为 N,x’[n]序列的长度为 M×N。那么这两个序列的频谱分别如下:
同时,还有两个反变换公式:
从上面的推导我们首先看出,,也就是通过这两个序列计算的频点是相同的。而这两个序列都满足乃奎斯特采样定律,因此对应的频谱上同频率的点的值应该是有关系的。而这个关系可以通过反变换公式来推导出。
可以看出,如果,则 x[n] = x’[nM]。但是这样求得的x’[n] 会有许多元素是复数值。我们知道实数序列的傅立叶变换满足如下条件:。为了扩展后还满足这个条件,可以这样做。
当N为奇数时:
当 N为偶数时:
这里要特别注意,N/2 那个元素需要分成两份,前后各放一半,只有这样变换后的结果才是对的。类似的处理在利用 FFT 计算离散解析信号时也会遇到。
下面给个scilab 的代码,scilab与 matlab 类似,数组下标从1开始,所以上面的的公式需要相应的修改一点。
function y = fft_interp(x, n) s = size(x); if s(1) == 1 then nx = s(2); ny = (nx) * n; s(2) = ny; else nx = s(1); ny = (nx) * n; s(1) = ny; end y = zeros(s(1), s(2)); xx = fft(x); if (nx / 2) == int(nx / 2) then // 偶数 s = nx/2; y(1:(1+s)) = xx(1:(1+s)) y(ny-s+1:ny) = xx(nx-s+1:nx) y(1+s) = y(1+s) / 2 y(ny-s+1) = y(ny-s+1)/2 else s = (nx - 1)/2; y(1:(1+s)) = xx(1:(1+s)) y(ny-s+1:ny) = xx(s+2:nx) end y = ifft(n*y) endfunction
上面的代码只是示意性的,没有考虑计算效率一类的问题。实际应用的话,可以在这个基础上进一步优化。
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