机器学习——贝叶斯分类算法

1. 前言

贝叶斯分类，是机器学习中比较重要并被广泛使用的一个分类算法，它分类思想主要基于贝叶斯定理。用一句话来描述就是，如果一个事件A发生时，总是伴随事件B，那么事件B发生时，事件A发生的概率也会很大。

贝叶斯分类一个很常见的用途是用在识别垃圾邮件上。我们给定一个学习集，程序通过学习集发现，在垃圾邮件中经常出现"免费赚钱"这个词，同时"免费赚钱"这个词又在垃圾邮件中更容易出现。那么在实际判断中，我们发现邮件中出现"免费赚钱"，就可以判定邮件是垃圾邮件。

其实我们每个人，我们的大脑每天都会执行分类操作，而且思考的过程和贝叶斯分类很像。我们可以想象一下，我们自己是如何识别垃圾邮件的。我们识别垃圾邮件总会有一定的规则，比如邮件中含有XX关键词，邮件描述信息太离谱了，邮件的发送人不认识，邮件中包含钓鱼网站。而这些规则，我们都是通过以往的经验总结出来的。通过这些规则，我们就可以判定邮件是垃圾邮件的概率更大，还是非垃圾邮件的概率更大。

1. 贝叶斯定理

首先我们要知道，P(A)，P(B)分别是事件A，B发生的概率，而P(A|B)是在事件A在事件B发生的前提下发生的概率，P(AB)是事件A，B同时发生的概率。那么我们的有公式：

那么贝叶斯定理是：

注：P(AB)=P(A)P(B)的充分必要条件是事件A和事件B相互独立。用通俗的语言讲就是，事件A是否发生不会影响到事件B发生的概率。

我们举例说明，比如我们抽取了100封邮件，经过统计如下表：

我们设P(B)是垃圾邮件事件的概率，P(A)是包含"免费赚钱"关键词事件的概率。

那么表示非垃圾邮件的概率，表示不包含"免费赚钱"的概率。

我们可以知道：

P(B)=50/(50+50)=0.5

P(A)=45/(45+55)=0.45

P(A|B)=40/50=0.8（在是垃圾邮件的前提下，包含"免费赚钱"的概率）

因此可以计算得到，如果邮件中包含"免费赚钱"关键字是垃圾邮件的概率是：

而是非垃圾邮件的概率是：

因此，包含"免费赚钱"关键字的邮件是垃圾邮件概率是88.9%，按照贝叶斯分类的理论，我们可以把它判定成垃圾邮件。

1. 朴素贝叶斯分类

现实生活中的情况，通常比我们上面所举得例子复杂的多。比如我们分类的结果，可能不止有两个类别（是垃圾邮件，非垃圾邮件），就像我们在做文章分类的时候，可能的类别有社会，军事，体育，娱乐，财经，科技等很多个类别。还有我们作为分类依据的特征，通常不止1个，可能有几十个甚至有上千个。

这是我们的表达式是这样的：

P(Y=Ck)表示Y是第K个分类的概率。P(X=x)表示X的特征组合是x的概率。

比如如果我们有100个特征，每个特征都只包含2种情况（比如是或否，包含或不包含）。那我们可能特征组合就是2的100次方。

这时我们要计算所有特征的组合的P(X=x)，就要计算2的100次方次，这个计算量就太庞大了，根本无法完成。

因此朴素贝叶斯为了解决这个计算量庞大的问题，它假设所有的特征都是相互独立的，这样大大的简化了计算的复杂程度，但同时也会降低分类的准确率。在贝叶斯定理一节，我们已经说过，P(AB)=P(A)P(B)的充分必要条件是事件A和事件B相互独立。因此我们可以得到：

P(X=x)=P(X1=x1)*P(X2=x2)*…*P(X100=x100)

所以我们只需要计算出每个特征单独发生或不发生（假设每个特征只包含两种情况）的概率，然后想成根据实际情况组合相乘就好了。

同理：P(X=x|Y=Ck)=P(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn|Y=Ck)（表示Y是第K类的前提下，同时发生X1=x1,..Xn=xn事件的概率）

= （表示P(X1=x1|Y=Ck)连乘到P(Xn=xn|Y=Ck)）

下面我们先介绍一下全概率公式：

假设A，B事件的关系如下：

那么我们可以得到：

因此根据上述公式，我们可以得到：

最终分类器可以表示为：

即在X已知的情况下，计算所有Y的可能值，选择出概率最大的哪一类，就是我们分类的结果。

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