HDU 4906 Our happy ending

浏览数：39 / 时间：2015年06月11日

题意：

　　Given a sequence a_1,a_2,...,a_n, if we can take some of them(each a_i can only be used once), and they sum to k, then we say this sequence is a good sequence.
　　 How many good sequence are there? Given that each a_i is an integer and 0<= a_i <= L.

　　给你一个序列： a_1, a_2, ..., a_n，如果我们能够取出他们中的一些（每个a_i只能取一次），并且他们的和是k，我们就把这个序列称为一个好的序列。

　　如果每个a_i都是0到L中的整数，那么他们一共能组成多少好序列呢？

思路：

　　状态压缩。

　　dp[i][S]表示长度为i的序列，能组合成的加和的集合为S的情况有多少种（集合用数字的位来表示，1表示可以组成，0表示不可以。因为有用的数字最多只有20，所以可以这样表示）。

　　这样，我们可以枚举第i+1位，得到一个新的可以组成的数的集合。原理和背包类似。在和别人的讨论中发现，用位运算可以很方便的表示这个背包的内容，我们假设原本可以组成的集合为S，现在枚举放不放进背包的数是j。那么，不放进背包的时候可能组成的集合还是S；而放进背包的话，可能组成的集合就变成了(S<<j)；所以枚举j可能组成的所有集合就是 S|(S<<j) 看起来是不是很简洁。

　　所以这样，我们的转移方程就可以写成 dp[i+1][S] = sum{dp[i][S0] | (S0|(S0<<j) ) == S}

　　值得注意的是，直接开 n*2^n 的数组可能会爆内存，观察转移是一层一层的进行的，所以我们可以用滚动数组进行优化。

(最后，感谢alpc同学的耐心讲解 :)

代码：(这样做会跑2秒，真心不知道那些0毫秒的怎么做的Orz)

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cstdlib>
 5 #include <cmath>
 6 #include <algorithm>
 7 #include <string>
 8 #include <queue>
 9 #include <stack>
10 #include <vector>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 #include <functional>
14 #include <time.h>
15 
16 using namespace std;
17 
18 typedef __int64 ll;
19 
20 const int INF = 1<<30;
21 const int MAXN = 21;
22 const ll MOD = (ll) 1e9+7;
23 
24 ll dp[1<<MAXN];
25 int n, k, L;
26 
27 void solve() {
28     memset(dp, 0, sizeof(dp));
29     int MIN = min(L, k);
30     int FULL = (1<<(k+1))-1; //全集
31 
32     dp[1] = 1;
33     for (int i = 0; i < n; i++) {
34         for (int S = FULL; S > 0; S--) if (dp[S]>0) {
35             ll tmp = dp[S];
36             for (int j = 1; j <= MIN; j++)  //枚举每一个有效数字
37                 dp[FULL&(S|(S<<j))] = (dp[FULL&(S|(S<<j))]+tmp)%MOD;
38             if (MIN<L)
39                 dp[S] = (dp[S]+((L-MIN)*tmp)%MOD)%MOD;
40         }
41     }
42 
43     ll ans = 0;
44     for (int S = 1; S <= FULL; S++) if (S&(1<<(k)))
45         ans = (ans+dp[S])%MOD;
46 
47     printf("%I64d\n", ans);
48 }
49 
50 int main() {
51     #ifdef Phantom01
52         freopen("HDU4906.txt", "r", stdin);
53     #endif //Phantom01
54 
55     int T;
56     scanf("%d", &T);
57     while (T--) {
58         scanf("%d%d%d", &n, &k, &L);
59         solve();
60     }
61 
62     return 0;
63 }